Differentiation < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:27 Mi 31.12.2008 | | Autor: | tedd |
| Aufgabe | Differenzieren Sie die folgende Funktion:
[mm] f(x)=exp(\bruch{-1}{x}) [/mm] |
Also ich habe die Funktion folgendermaßen abgeleitet:
$ innere Ableitung: [mm] (\bruch{-1}{x})'=\bruch{1}{x^2} [/mm] $
$ äußere Ableitung: (exp(x))'=exp(x) $
[mm] f'(x)=exp(\bruch{-1}{x})*\bruch{1}{x^2}
[/mm]
Meine eigentliche Frage ist jetzt ob ich streng genommen prüfen muss, ob die Funktion auch an der Stelle [mm] x_0=0 [/mm] differenzierbar ist?
Also ob der beidseitige Grenzwert
[mm] \limes_{\Delta x\rightarrow0}\bruch{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x} [/mm] in [mm] \IR [/mm] existiert...
?
Das wär ja dann:
[mm] \limes_{\Delta x\rightarrow0}\bruch{exp(\bruch{-1}{0+\Delta x})-exp(\bruch{-1}{0})}{\Delta x}=\bruch{0}{0} [/mm] und dann müsste ich L'Hospital anwenden oder eine andere Umformung um den unbestimmten Ausdruck [mm] \bruch{0}{0} [/mm] zu vermeiden.
....
Also muss ich strenggenommen bei jeder Funktion die eine Definitonslücke hat die evtl stetig behhebbar ist, prüfen, ob die Funktion an dieser Stelle differenzierbar ist?
Wenn die Funktion dort nicht stetig ist kann sie dort dann überhaupt differenzierbar sein?
Ich weis, dass wenn eine Funktion stetig an einer Stelle ist, dass das nicht heissen muss, dass sie dort auch differenzierbar ist.
Aber umgekehrt ist eine Funktion an einer Stelle stetig wenn sie dort differenzierbar ist.
Danke und guten Rutsch,
tedd 
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:35 Mi 31.12.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo tedd!
Die Ableitung hast Du korrekt ermittelt.
Da die gegebene Funktion an der Stelle [mm] $x_0 [/mm] \ = \ 0$ überhaupt nicht definiert ist, sind jegliche weiter Überlegungen hinfällig und überflüssig.
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:12 Mi 31.12.2008 | | Autor: | tedd |
danke für die Antwort :)
Gruß,
tedd
|
|
|
|
