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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:28 Do 01.07.2004 | | Autor: | Chrissie |
Hallo!
Kann jemand anhand des u.a. Beispiel die Bestimmung von evtl. vorhandene Null-, Maximal, Minimal-, Wende- und Sattelstelle ausführlich erklären?
y=4x³ - 6x² - 3x
Desweiteren benötige ich Hilfe, wann ein Funktion konvex bzw. konkav ist?
Ich habe diese Frage in keinem weiteren Forum gestellt
Vielen Dank,
Christian
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:24 Do 01.07.2004 | | Autor: | ziska |
Hallo Chrissie!
Ich kann dir deine Frage nur ansatzweise beantworten, aber ich hoffe, das reicht die vorerst auch. 
> Kann jemand anhand des u.a. Beispiel die Bestimmung von
> evtl. vorhandene Null-, Maximal, Minimal-, Wende- und
> Sattelstelle ausführlich erklären?
>
> y=4x³ - 6x² - 3x
Okay, zur Nullstellenberechnung: Mit Nullstellen sind die Schnittpunkte mit der x-Achse gemeint. Dazu muss du f(x)= 0 setzen.
f(x)= 4x³ - 6x² -3x
=> 0= 4x³-6x²-3x
0= x( 4x²-6x-3)
[mm] x_1= [/mm] 0 oder 4x²-6x-3=0 /:4
x²- [mm]\bruch{6}{4}[/mm]x-[mm]\bruch{3}{4}[/mm]=0
Diese Gleichung löst du dann mit Hilfe der p-q-Formel
auf.
Bei Fragen, frag einfach nach!!!!
Pass auf! Nullstellen sind NICHT die Schnittpunkte mit der y-Achse, aber bei Kurvendiskussionen sind diese auch gefragt. Dazu muss du x=0 setzen.
Das wäre bei dieser Gleichung ganz einfach:
f(0)=4*0 - 6*0 -3*0
=> [mm] S_y(0/0)
[/mm]
Zur Maximal, Minimal-, Wendepunktbestimmung:
Dazu brauchst du zunächst die 1.Ableitung.
f`(x)= 12x²-12x-3
Die setzt du zur Maximal-und Minimalpunktbestimmung =0.
Dabei kämen folgende Werte raus. (Den Rechenweg bekommst du sicherlich selbst hin!!!)
[mm] x_1=1 [/mm] und [mm] x_2=0
[/mm]
Wenn ich mich nicht verrechnet hab...
Diese Werte setzt du dann in die 2.Ableitung ein. Wenn an dieser Stelle ein Hoch- bzw. ein Tiefpunkt vorliegt dard diese nicht =0 sein!
f``(x)= 24x-12
f``(1)=12 >0 => Tiefpunkt(1/-5)
f``(0)= -12 => Hochpunkt(0/0)
Für die entsprechenden y-Werte setzt du die Werte 1 bzw 0 einfach in die ursprüngliche Gleichung ein!!!
Für einen Wendepunkt funktioniert das ähnlich. Hierbei musst du nur die 2.Ableitung =0 setzen und dann den Wert in die 3.Ableitung einsetzen, wobei nicht 0 herauskommen darf!
0 = 24x-12 /+12, :24
x= [mm]\bruch{1}{2}[/mm]
in f```(x)
f```(x)= -12
f```([mm]\bruch{1}{2}[/mm])= -12 ungleich 0
=> Wendepunkt ([mm]\bruch{1}{2}[/mm]/ - [mm][mm] \bruch{5}{2}\mm]) [/mm]
Damit hättest du nun Hoch-,Tief- und Wendepunkt bestimmt. Die Kriterien für einen Sattelpunkt weiß ich leider nicht und von konkarv und konvex hab ich nur mal was in Kunst von gehört. Deswegen hoffe ich mal, dass ich die wenigstens ansatzweise helfen konnte.
LG,
ziska
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:29 Do 01.07.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo Chrissie!
Zu den noch offenen Fragen:
Ein Sattelpunkt ist ein Wendepunkt mit waagerechter Tangente.
Also ist [mm] $x_0$ [/mm] eine Sattelstelle von $f$, wenn [mm] $f'(x_0)=0$, $f''(x_0)=0$ [/mm] und [mm] $f'''(x_0) \ne [/mm] 0$ gilt. (Diese Bedingungen sind hinreichend und bis auf die letzte auch notwendig. Die letzte Bedingung kann durch die allgemeinere Bedingung ersetzt werden, dass [mm] $f''(X_0) [/mm] = [mm] \ldots [/mm] = [mm] f^{(2n)}(x_0)=0$ [/mm] und [mm] $f^{(2n+1)}(x_0) \ne [/mm] 0$ für eine natürliche Zahl $n$ gilt.
Eine zweimal differenzierbare Funktion $f$ ist genau dann konvex, wenn $f''(x) [mm] \ge [/mm] 0$ gilt (sprich, wenn die erste Ableitung monoton steigend, also die Kurve linksgekrümmt ist) und genau dann konkav, wenn [mm] $f''(x)\le [/mm] 0$ gilt (sprich, wenn die erste Ableitung monoton fallend, also die Kurve rechtsgekrümmt ist).
Liebe Grüße
Julius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:29 Do 01.07.2004 | | Autor: | Chrissie |
Hallo Julius & Ziska!
Vielen Dank für die schnelle Bearbeitung!!!!!!!!!!!!!!!!!!
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