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Hallo zusammen
Ich habe 2 Fragen zu folgenden Funktion:
[mm] f(x)=(lnx)^3-2(lnx)^2+lnx
[/mm]
Wie berechne ich hier die Nullstellen und die inverse Funktion?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:41 Sa 27.11.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo blackkilla!
Führe die Substitution $z \ := \ [mm] \ln(x)$ [/mm] durch.
Gruß
Loddar
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Und was bringt mir das?
Dann zieht ja die Funktion folgendermassen aus:
[mm] (z)^3-2(z)^2+z
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:28 Sa 27.11.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo blackkilla!
Zunächst einmal muss hier eine Gleichung stehen und nicht nur ein Term:
[mm]z^3-2*z^2+z \ \red{= \ 0}[/mm]
Klammere nun [mm]z_[/mm] aus; damit hast Du Deine erste z-Lösung.
Auf den verbleibenden quadratischen Term kannst Du dann z.B. die  p/q-Formel anwenden.
Anschließend nicht vergessen zu resubstituieren.
Gruß
Loddar
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Also ich habe mit der Mitternachtsformel berechnet und erhalte die Nullstellen 0 und 1.
Und warum wieder resubstituieren?
Und wie berechne ich die Inversefunktion?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:25 Sa 27.11.2010 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Also ich habe mit der Mitternachtsformel berechnet und
> erhalte die Nullstellen 0 und 1.
Aus $ [mm] z^{3}-2z^{2}+z=0$ [/mm] hast du also korrekterweise die Nullstellen [mm] z_{1}=0 [/mm] und [mm] z_{2}=1 [/mm] ermittelt.
>
> Und warum wieder resubstituieren?
Du willst doch die Nullstellen von f(x) haben also x-Werte, keine Werte für eine Zwischendurch eingeführte Variable z.
>
> Und wie berechne ich die Inversefunktion?
Normalerweise, indem man
$ [mm] y=(lnx)^3-2(lnx)^2+lnx [/mm] $
nach x auflöst, und dann die Variablen x und y vertauscht. Aber du bekommst hier ein Problem, da die Funktion f(x) nicht auf dem kompletten Definitionsbereich monoton ist. Damit bekommst du die Funktion $ [mm] y=(lnx)^3-2(lnx)^2+lnx [/mm] $ nicht sauber nach x aufgelöst.
Ist die Inverse evtl nur auf einem Teilbereich zu berechnen?
Marius
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Ok ich hab nochmals nachgerechnet und 0 als Nullstelle ist falsch. Sondern "e" wäre richtig. :)
Was meinst du mit dem Begriff monoton? Also die Aufgabe lautet so:
Zeigen Sie, dass f(x), definiert auf dem [mm] Intervall[e,\infty], [/mm] eine inverse Funktion h hat und bestimmen Sie h'(2).
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:24 Sa 27.11.2010 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Ok ich hab nochmals nachgerechnet und 0 als Nullstelle ist
> falsch. Sondern "e" wäre richtig. :)
0 als Nullstelle der Zwischenfunktion f(z) ist doch korrekt, daraus folgt dann eben e als Nullstelle für f(x)
>
> Was meinst du mit dem Begriff monoton? Also die Aufgabe
> lautet so:
>
> Zeigen Sie, dass f(x), definiert auf dem
> [mm]Intervall[e,\infty],[/mm] eine inverse Funktion h hat
Was waren denn an eine Funktion für voraussetzungen geben, dass man sie invertieren kann? Sind diese erfüllt? Hier musst du h noch nicht mal konkret angeben, es reicht, wenn du zeigst, dass es so eine Funktion geben muss.
> und bestimmen Sie h'(2).
Es gibt eine Formel für die Ableitung einer Umkehrfunktion an einer bestimmten Stelle, kennst du diese?
Marius
Marius
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Nein diese Formel kenn ich nicht.
f muss ja monoton steigend sein, damit es eine Inverse hat...
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Wenn ich die Funktion einfach mal ableiten würde, erhalte ich:
[mm] f'(x)=\bruch{3(lnx)^2-4(lnx)+1}{x}
[/mm]
Stimmt das? Und wie kann ich das vereinfachen dass ich auf folgendes komme:
f'(x)=(3/x)(lnx-1)(lnx-1/3)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:27 Sa 27.11.2010 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Wenn ich die Funktion einfach mal ableiten würde, erhalte
> ich:
>
> [mm]f'(x)=\bruch{3(lnx)^2-4(lnx)+1}{x}[/mm]
>
> Stimmt das?
Yep
> Und wie kann ich das vereinfachen dass ich auf
> folgendes komme:
>
> f'(x)=(3/x)(lnx-1)(lnx-1/3)
Durch Linearfaktorzerlegung des Zählers.
Substituiere mal [mm] u:=\ln(x), [/mm] also
[mm] 3(\ln(x))^{2}+4\ln(x)+1=3u^{2}-4u+1=3(u^{2}-\bruch{4}{3}u+\bruch{1}{3})
[/mm]
Und die Nullstellen von [mm] (u^{2}-\bruch{4}{3}u+\bruch{1}{3}) [/mm] sind u=1 und [mm] u=\bruch{1}{3}, [/mm] also gilt: [mm] (u^{2}-\bruch{4}{3}u+\bruch{1}{3})=\left(u-1\right)\left(u-\bruch{1}{3}\right)
[/mm]
Marius
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Ok geht auf.
Nun muss ich ja h'(2) berechnen.
Die Ableitung der Inverse sieht ja so aus:
[mm] g'(y0)=\bruch{1}{f'(x0)}
[/mm]
Nun warum ist [mm] h'(2)=\bruch{1}{f'(e^2)}?
[/mm]
In dieser Aufgabe musste ich mal die [mm] f(e^2) [/mm] berechnen mehr nicht...
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Hallo blackkilla,
> Ok geht auf.
>
> Nun muss ich ja h'(2) berechnen.
>
> Die Ableitung der Inverse sieht ja so aus:
>
> [mm]g'(y0)=\bruch{1}{f'(x0)}[/mm]
>
> Nun warum ist [mm]h'(2)=\bruch{1}{f'(e^2)}?[/mm]
Siehe hier: Umkehrregel
>
> In dieser Aufgabe musste ich mal die [mm]f(e^2)[/mm] berechnen mehr
> nicht...
Gruss
MathePower
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Weil [mm] f(e^2)=2 [/mm] ergab?
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Hallo blackkilla,
> Weil [mm]f(e^2)=2[/mm] ergab?
Ja.
Das kann auch wie folgt berechnet werden.
[mm]2=\left(\ln\left(x\right)\right)^{3}-2*\left(\ln\left(x\right)\right)^{2}+\ln\left(x\right)[/mm]
Substituieren wir [mm]u=\ln\left(x\right)[/mm], dann steht da:
[mm]2=u^{3}-2*u^{2}+u \gdw u^{3}-2*u^{2}+u-2=0[/mm]
Faktorisiert man die linke Seite der Gleichung
[mm]u^{3}-2*u^{2}+u-2=0[/mm]
, dann ergibt sich. [mm]\left(u^{2}+1\right)*\left(u-2\right)=0[/mm]
Nach dem Satz vom Nullprodukt, muss [mm]u^2+1=0[/mm] oder u-2=0 sein.
Da [mm]u^2+1 \not=0, \ u \in \IR[/mm] bleibt nur noch u-2=0.
Damit ergibt sich u=2 und somit [mm]x=e^{2}[/mm]
Gruss
MathePower
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Gibt es eigentlich eine bestimmte Vorgehensweise für Faktorisierungen? Ich seh das meist nicht auf den ersten Blick...
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Hallo blackkilla,
> Gibt es eigentlich eine bestimmte Vorgehensweise für
> Faktorisierungen? Ich seh das meist nicht auf den ersten
> Blick...
Du musst die Nullstellen des zu faktorisierenden Polynoms finden, dann kannst du Linearfaktoren [mm](x-n_N)[/mm] abspalten - etwa durch Polynomdivision.
Bei quadrat. Polynomen hast du die p/q-Formel oder andere bekannte Lösungsschemata.
Bei höhergradigen Polynomen [mm]p(x)[/mm] hilft meist nur das Raten einer NST [mm]x_N[/mm], dann bekommt man durch Polynomdivision [mm]p(x):(x-x_N)=q(x)[/mm] ein neues Polynom [mm]q[/mm], dessen Grad im Vergleich zu dem von [mm]p[/mm] um 1 niedriger ist.
Das Raten von NST erleichtert folgender Satz:
Hat ein Polynom eine ganzzahlige Nullstelle, so ist sie Teiler des Absolutgliedes (also desjenigen ohne x)
Hier hast du [mm]u^3-2u^2+u-2[/mm]
Das Absolutglied ist [mm]-2[/mm], das hat die ganzzahligen Teiler [mm]\{\pm 1,\pm 2\}[/mm]
Die probiere durch ...
Für Polynome 3. und auch noch 4. Grades gibt es auch Lösungsformeln, die aber recht kompliziert zu handhaben sind, da ist man mit dem Raten meist besser dran.
Erst wenn du durch Raten keine NST findest, musst du wohl oder übel ran an diese Formeln (oder du bemühst ein Näherungsverfahren, wie etwa das Newtonverfahren o.ä.)
Für Polynome mit Grad >4 ist es allerdings Essig mit Lösungsformeln, da hilft nur Raten oder ein Näherungsverfahren ...
Gruß
schachuzipus
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:14 Sa 27.11.2010 | | Autor: | rolf7 |
Hallo,
die Subst. führt auf eine einfacher zu lösende Gleichung. Das ist das Ziel. Das hat man dir gezeigt. Denn [mm] z^3 -2*z^2+z=0[/mm] ist jetzt eine Gleichung, die du im Kopf lösen kannst! Nämlich: [mm]\left( z^2-2*z+1 \right) *z=0 \to \left( z-1 \right)^2*z=0 [/mm]
Die Lösungen [mm]z_1= 0 [/mm] und [mm]z_2 =1[/mm] für [mm]z [/mm] sind jetzt offensichtlich!
([mm] z=1 [/mm] ist übrigens Doppellösung).
Das [mm]z=0[/mm] eine Lösung ist, das folgt sofort aus:
"Ein Produkt ist Null, wenn mind. ein Faktor Null ist"!
Aber die Lösung wird in [mm]x[/mm] gesucht, darum die Rücktransformation.
[mm] \left( ln\left( x \right \right))=z [/mm] war deine Substitution. Wenn du nacheinander die für [mm]z[/mm] gefundenen Lösungen hier einsetzt und dann jeweils nach [mm]x[/mm] auflöst, dann hast du die Lösungen deiner Ausgangsgleichung. Alles andere war "das gewußt wie" (von Lodder).
Also. [mm]z_1 =0 \to ln \left( x \right)=0 [/mm] [mm] \to x_1 =1 [/mm] und [mm] z_2 =1\to ln\left( x \right)=1 \to x_2 =e[/mm] sind die gesuchten Nullstellen.
mfg rolf7
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