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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:13 So 28.11.2010 | | Autor: | dennis2 |
| Aufgabe | Lösen Sie folgende Differentialgleichungssysteme:
(i) [mm] y_1'-4y_1-y_2=0
[/mm]
[mm] y_2'-y_2+2y_1=-2e^t
[/mm]
(ii) [mm] y_1'=y_1+6y_2+3y_3
[/mm]
[mm] y_2'=-2y_1-6y_2-2y_3
[/mm]
[mm] y_3'=y_1+2y_2-y_3 [/mm] |
Wie löst man denn sowas?
Ich habe das bis heute nicht begriffen, obwohl wir das Thema Differentialgleichungen schon ewig haben..
Kann mir jemand weiterhelfen??
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:23 So 28.11.2010 | | Autor: | dennis2 |
Hier würde mir jetzt nur einfallen, dass man das doch auch in einer Matrixschreibweise ausdrücken kann:
y'(t)=Ay(t)
Die Koeffizienten sind hier doch konstant, richtig?
Damit wäre das in diesem Beispiel dann:
[mm] y'(t)=\pmat{1 & 6 & 3 \\ -2 & -6 & -2 \\ 1 & 2 & -1}y(t).
[/mm]
[Kann man hier jetzt vielleicht mit dem Matrixexponential arbeiten?]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:38 So 28.11.2010 | | Autor: | dennis2 |
| Aufgabe | Hallo!
Bin mitten in einer Jordanformbestimmung und stecke hier fest:
Eigenwert ist 2 mit algebr. Vielfachheit 3.
Eigenraum:
Was ist der Rang der Matrizen
[mm] \pmat{-8 & -48 & -24 \\ 16 & 48 & 16 \\ -8 & -16 & 8} [/mm] und
[mm] \pmat{80 & 288 & 144 \\ -96 & -256 & -96 \\ 48 & 96 & -16} [/mm] |
Hintergrund ist, dass ich die Erzeugendensysteme der Kerne dieser Matrizen herausfinden muss, weil ich gerade dabei bin eine Jordanform zu bestimmen.
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Hallo dennis2,
> Hallo!
>
> Bin mitten in einer Jordanformbestimmung und stecke hier
> fest:
>
> Eigenwert ist 2 mit algebr. Vielfachheit 3.
Der Eigenwert ist doch -2 mit algebraischer Vielfachheit 3.
>
> Eigenraum:
>
> Was ist der Rang der Matrizen
>
> [mm]\pmat{-8 & -48 & -24 \\ 16 & 48 & 16 \\ -8 & -16 & 8}[/mm] und
>
> [mm]\pmat{80 & 288 & 144 \\ -96 & -256 & -96 \\ 48 & 96 & -16}[/mm]
Poste doch mal, wie Du auf diese Matrizen kommst.
>
> Hintergrund ist, dass ich die Erzeugendensysteme der Kerne
> dieser Matrizen herausfinden muss, weil ich gerade dabei
> bin eine Jordanform zu bestimmen.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:34 So 28.11.2010 | | Autor: | dennis2 |
| Aufgabe | Ja, stimmt: Der dreifache Eigenwert ist -2.
Ich hatte dummerweise falsch gelesen.
Das charakteristische Polynom ist ja
[mm] \chi_{A}(x)=x^3+6x^2+12x+8=(x+2)^3 [/mm] und da habe ich dann den üblichen Fehler gemacht und habe 2 als Eigenwert abgelesen.
Daher habe ich auch keine Jordanform finden können.
Mit dem richtigen Eigenwert -2 hat es dann sofort funktioniert.
Die Jordanbasis ist dann bei mir [mm] \{\pmat{1 \\ 0 \\ 0},\pmat{3 \\ -2 \\ 1},\pmat{-1 \\ 0 \\ 1}\}. [/mm] |
Und mein Ziel ist es jetzt, mittels der nun vorhandenen Transformationsmatrix C das Differentialgleichungssystem (ii) zu lösen:
Denn [mm] Ce^{tJ} [/mm] ist ja Fundamentalmatrix, wobei ich mit J hier die Jordanform meine.
Und [mm] e^{tJ} [/mm] kann man doch berechnen, indem man die einzelnen Jordanblöcke verwendet?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:44 So 28.11.2010 | | Autor: | dennis2 |
Ich orientiere mich hierbei an folgender Seite, die ich glaube ich auch für (i) werde ganz gut nutzen können:
http://mo.mathematik.uni-stuttgart.de/inhalt/beispiel/beispiel1174/
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Hallo dennis2,
> Ja, stimmt: Der dreifache Eigenwert ist -2.
> Ich hatte dummerweise falsch gelesen.
>
> Das charakteristische Polynom ist ja
>
> [mm]\chi_{A}(x)=x^3+6x^2+12x+8=(x+2)^3[/mm] und da habe ich dann den
> üblichen Fehler gemacht und habe 2 als Eigenwert
> abgelesen.
>
> Daher habe ich auch keine Jordanform finden können.
>
> Mit dem richtigen Eigenwert -2 hat es dann sofort
> funktioniert.
>
> Die Jordanbasis ist dann bei mir [mm]\{\pmat{1 \\ 0 \\ 0},\pmat{3 \\ -2 \\ 1},\pmat{-1 \\ 0 \\ 1}\}.[/mm]
>
> Und mein Ziel ist es jetzt, mittels der nun vorhandenen
> Transformationsmatrix C das Differentialgleichungssystem
> (ii) zu lösen:
>
> Denn [mm]Ce^{tJ}[/mm] ist ja Fundamentalmatrix, wobei ich mit J hier
> die Jordanform meine.
>
> Und [mm]e^{tJ}[/mm] kann man doch berechnen, indem man die einzelnen
> Jordanblöcke verwendet?
Ja.
Gruss
MathePower
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Hallo dennis2,
> Lösen Sie folgende Differentialgleichungssysteme:
>
> (i) [mm]y_1'-4y_1-y_2=0[/mm]
> [mm]y_2'-y_2+2y_1=-2e^t[/mm]
>
> (ii) [mm]y_1'=y_1+6y_2+3y_3[/mm]
> [mm]y_2'=-2y_1-6y_2-2y_3[/mm]
> [mm]y_3'=y_1+2y_2-y_3[/mm]
> Wie löst man denn sowas?
> Ich habe das bis heute nicht begriffen, obwohl wir das
> Thema Differentialgleichungen schon ewig haben..
>
Schreibe das in der Form
[mm]y'=A*y[/mm]
Dann bestimmst Du die Eigenwerte der Matrix A, in dem Du die Nullstellen des charakteristischen Polynoms
[mm]\operatorname{det}\left(A-\lambda*E\right)[/mm]
bestimmst
Bestimme dann zu jeder Lösung geeignete Eigenvektoren.
Beachte, daß Eigenwerte auch mehrfach vorkommen können.
>
> Kann mir jemand weiterhelfen??
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:57 So 28.11.2010 | | Autor: | dennis2 |
| Aufgabe | Bei dem Differentialgleichungssystem (i) handelt es sich doch um ein inhomogenes System?...
Kann ich mich da hiernach richten?
http://mo.mathematik.uni-stuttgart.de/inhalt/loesung/loesung748/
??
Das wäre klasse, sowas hilft mir gewaltig. |
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Hallo dennis2,
> Bei dem Differentialgleichungssystem (i) handelt es sich
> doch um ein inhomogenes System?...
>
> Kann ich mich da hiernach richten?
>
> http://mo.mathematik.uni-stuttgart.de/inhalt/loesung/loesung748/
>
> ??
Ja.
>
> Das wäre klasse, sowas hilft mir gewaltig.
>
> ...
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:27 So 28.11.2010 | | Autor: | dennis2 |
Ich denke, ich habe die Lösungen ganz gut hinbekommen.
Bei Gelegenheit werde ich meine Ergebnisse noch posten. Ich kann aber sonst nur auf den genannten Link verweisen; im Grunde habe ich ja nichts Anderes gemacht, als mich sehr streng danach gerichtet.
Es ist also eigentlich überflüssig, wenn ich das hier reproduziere.
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