Differentialgleichungssysteme < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:56 Di 26.01.2010 | | Autor: | tynia |
| Aufgabe | Nennen Sie die Bedingungen für die Existenz
und Eindeutigkeit der Lösung des inhomogenen linearen
Differentialgleichungssystems erster Ordnung. |
hallo.
kann mir einer einen Tipp geben, was ich dazu sagen könnte. ich weiß leider gar nix. wäre sehr nett.
danke schonmal.
LG
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:01 Di 26.01.2010 | | Autor: | fred97 |
Vor nicht all zu langer Zeit habe ich Dir die gleiche Frage in Bezug auf eine inhomogene lineare Differentialgleichung erster Ordnung beantwortet.
Für Systeme gilt genau das gleiche. Also formuliere mal selbst
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:16 Di 26.01.2010 | | Autor: | tynia |
Die Lösung ergibt sich doch aus der Summe einer partikulären Lösung und der allgemeinen homogenen Lösung. Muss ich dann die Bedingungen für die Existenz der homogenen und die der inhomogenen Gleichung nennen?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:39 Di 26.01.2010 | | Autor: | tynia |
ich habe jetzt folgendes dazu:
Gegeben seien ein Intervall I und ein lineares Di erentialgleichungssy-
stem y'(t)=A(t)y(t)+s(t) mit stetigen Funktionen A:I [mm] \to \IR^{nxn} [/mm] und s:I [mm] \to \IR^{n}
[/mm]
Dann gibt es zu jedem Paar [mm] (t_{0},y_{0}) \in \IR^{n} [/mm] genau eine auf ganz I de nierte Lösung y des zugehörigen Anfangswertproblems.
kann man das so stehen lassen?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:49 Di 26.01.2010 | | Autor: | fred97 |
> ich habe jetzt folgendes dazu:
>
> Gegeben seien ein Intervall I und ein lineares
> Di erentialgleichungssy-
> stem y'(t)=A(t)y(t)+s(t) mit stetigen Funktionen A:I [mm]\to \IR^{nxn}[/mm]
> und s:I [mm]\to \IR^{n}[/mm]
>
> Dann gibt es zu jedem Paar [mm](t_{0},y_{0}) \in \IR^{n}[/mm] genau
> eine auf ganz I de nierte Lösung y des zugehörigen
> Anfangswertproblems.
>
> kann man das so stehen lassen?
Nicht ganz. Ich würde noch schreiben: ............."$I [mm] \subseteq \IR$" [/mm] ...........
......" zu jedem Paar [mm](t_{0},y_{0}) \in \IR^{n}[/mm] "....
ist nicht richtig, denn [mm] $t_0 \in [/mm] I$ und [mm] y_0 \in \IR^n, [/mm] also [mm](t_{0},y_{0}) \in \IR^{n+1}[/mm]
Das zugehörige Anfangswertproblem hast Du auch nicht formuliert ! Es lautet so:
$ y'(t)=A(t)y(t)+s(t) $ und [mm] $y(t_0)= y_0$
[/mm]
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:53 Di 26.01.2010 | | Autor: | tynia |
ich verstehe noch eine sache nicht. ich habe hier 2 fragen.
die erste lautet:
Nennen Sie die Bedingungen für die Existenz und Eindeutigkeit der Lösung des inhomogenen linearen DGS erster Ordnung
und die zweite:
Nennen Sie die Bedingungen für die Existenz und Eindeutigkeit der Anfangswertaufgabe
Ist das nicht dasselbe??
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:02 Di 26.01.2010 | | Autor: | fred97 |
> ich verstehe noch eine sache nicht. ich habe hier 2 fragen.
>
> die erste lautet:
>
> Nennen Sie die Bedingungen für die Existenz und
> Eindeutigkeit der Lösung des inhomogenen linearen DGS
> erster Ordnung
Ohne Vorgabe von Anfangswerten hat das System unendliche viele Lösungen auf I !!!! (falls A und s stetig sind)
>
> und die zweite:
>
> Nennen Sie die Bedingungen für die Existenz und
> Eindeutigkeit der Anfangswertaufgabe
Stetigkeit von A und s
FRED
>
> Ist das nicht dasselbe??
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:37 Di 26.01.2010 | | Autor: | tynia |
ich habe noch eine frage:
Die anfangswertaufgabe u'=Au, [mm] u(t_{0})=u_{0} [/mm] besitz ja bei beliebigem [mm] t_{0} \in \IR [/mm] und [mm] u_{0} \in \IR^{n} [/mm] die eindeutig bestimmte auf ganz [mm] \IR [/mm] definierte Lösung
[mm] u(t)=e^{t-t_{0}}u_{0}
[/mm]
Wieso nimmt man jetzt hier die Matrixexponentialfunktion?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:47 Di 26.01.2010 | | Autor: | fred97 |
> ich habe noch eine frage:
>
> Die anfangswertaufgabe u'=Au, [mm]u(t_{0})=u_{0}[/mm] besitz ja bei
> beliebigem [mm]t_{0} \in \IR[/mm] und [mm]u_{0} \in \IR^{n}[/mm] die
> eindeutig bestimmte auf ganz [mm]\IR[/mm] definierte Lösung
>
> [mm]u(t)=e^{t-t_{0}}u_{0}[/mm]
Da hast Du Dich verschrieben: es lautet: [mm]u(t)=e^{(t-t_{0})A}u_{0}[/mm]
>
> Wieso nimmt man jetzt hier die Matrixexponentialfunktion?
Was heißt "nehmen" ? Zunächst siehst Du , dass [mm]u(t)=e^{(t-t_{0})A}u_{0}[/mm] eine Lösung des AWPs ist, und wir wissen, dass das AWP genau eine Lösung hat.
FRED
|
|
|
|
