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| Aufgabe | Berechnen Sie alle Lösungen des Differentialgleichungssystems
x'(t)=-x(t)+2y(t)
y'(t)=2x(t)-y(t) |
Hallo
Also bei dieser Aufgabe habe ich folgendes Problem. Mein Ansatz zur Lösung war das ich mir aus den gegebenen Gleichungen ein Matrix aufstelle und zwar so:
[mm] A=\pmat{ -1 & 2 \\ 2 & -1}
[/mm]
davon hab ich dann die EW über das charakteristische Polynom: [mm] \lambda^2+3*\lambda-2 [/mm] ausgerechnet, die sind aber total unförmig.
Damit kann ich ja keine Diagonalmatrix aufstellen um dann vernünftig weiter zu rechnen.
Außerdem hab ich eine Lösung gegeben, bei der ich gar nicht weiß wie man da hin kommen soll.
[mm] \vektor{x(t) \\ y(t)}=C_{1}\vektor{1 \\ -1}e^{-3t}+C_{2}\vektor{1 \\ 1}e^{t}
[/mm]
Kann mir da jemand weiterhelfen? Vielleicht denke ich ja auch einfach zu kompliziert. ;)
Vielen Dank schon mal
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Hallo Leni-chan,
> Berechnen Sie alle Lösungen des
> Differentialgleichungssystems
>
> x'(t)=-x(t)+2y(t)
> y'(t)=2x(t)-y(t)
> Hallo
>
> Also bei dieser Aufgabe habe ich folgendes Problem. Mein
> Ansatz zur Lösung war das ich mir aus den gegebenen
> Gleichungen ein Matrix aufstelle und zwar so:
>
> [mm]A=\pmat{ -1 & 2 \\ 2 & -1}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> davon hab ich dann die EW über das charakteristische
> Polynom: [mm]\lambda^2+3*\lambda-2[/mm] ausgerechnet, die sind aber total unförmig.
Ja, kein Wunder, du hast dich bei der Berechnung des charakter. Polynoms verschustert
Rechne nochmal nach: [mm] $det\pmat{ -1-\lambda & 2 \\ 2 & -1-\lambda}=...$
[/mm]
Das gibt etwas "Nettes" .. (und passt auch zur Musterlösung  )
> Damit kann ich ja keine Diagonalmatrix aufstellen um dann
> vernünftig weiter zu rechnen.
>
> Außerdem hab ich eine Lösung gegeben, bei der ich gar nicht
> weiß wie man da hin kommen soll.
>
> [mm]\vektor{x(t) \\ y(t)}=C_{1}\vektor{1 \\ -1}e^{-3t}+C_{2}\vektor{1 \\ 1}e^{t}[/mm]
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> Kann mir da jemand weiterhelfen? Vielleicht denke ich ja
> auch einfach zu kompliziert. ;)
>
> Vielen Dank schon mal
LG
schachuzipus
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:28 Fr 20.02.2009 | | Autor: | fred97 |
Noch eine Möglichkeit:
Wir haben:
$x'(t)=-x(t)+2y(t)$
$y'(t)=2x(t)-y(t)$
Addiert man diese beiden Gleichungen, so erhält man:
$x'(t) +y'(t) = x(t)+y(t)$,
also (1) $x(t) +y(t) = [mm] Ce^t$
[/mm]
Subtrahiert man die beiden Gleichungen, so erhält man:
$x'(t) -y'(t) = -3(x(t)-y(t))$,
also (2) $x(t) -y(t) = [mm] De^{-3t}$
[/mm]
Aus (1) und (2) erhält man dann
$ [mm] \vektor{x(t) \\ y(t)}=C_{1}\vektor{1 \\ -1}e^{-3t}+C_{2}\vektor{1 \\ 1}e^{t} [/mm] $
FRED
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