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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:07 So 29.06.2008 | | Autor: | sqoody |
| Aufgabe | | [mm] cos(x)*y'+sin(x)*y=sin^{2}(x) [/mm] Anfangswertproblem: y(0)=1 |
Habe mit dieser Differentialgleichung so meine Probleme und denke das ich auf dem falschen Weg bin...
Hier mal mein bisheriger Versuch:
[mm] cos(x)*y'+sin(x)*y=sin^{2}(x)
[/mm]
[mm] cos(x)*y'=sin^{2}(x)-sin(x)*y
[/mm]
[mm] y'=\bruch{sin^{2}(x)-sin(x)*y}{cos(x)}
[/mm]
Da ja [mm] \bruch{sin(x)}{cos(x)}=tan(x) [/mm] ist -->
[mm] y'=sin^{2}(x)-tan(x)*y
[/mm]
Würde nun gerne Wissen ob meine Berechnung bis hier her stimmt oder doch schon grobe Fehler drin sind?
Dankeschön
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Hallo sqoody,
> [mm]cos(x)*y'+sin(x)*y=sin^{2}(x)[/mm] Anfangswertproblem: y(0)=1
> Habe mit dieser Differentialgleichung so meine Probleme
> und denke das ich auf dem falschen Weg bin...
> Hier mal mein bisheriger Versuch:
>
> [mm]cos(x)*y'+sin(x)*y=sin^{2}(x)[/mm]
>
> [mm]cos(x)*y'=sin^{2}(x)-sin(x)*y[/mm]
>
> [mm]y'=\bruch{sin^{2}(x)-sin(x)*y}{cos(x)}[/mm]
>
> Da ja [mm]\bruch{sin(x)}{cos(x)}=tan(x)[/mm] ist -->
>
> [mm]y'=sin^{2}(x)-tan(x)*y[/mm]
>
> Würde nun gerne Wissen ob meine Berechnung bis hier her
> stimmt oder doch schon grobe Fehler drin sind?
Üblicherweise löst man hier zuerst die homogene DGL:
[mm]\cos\left(x\right)*y'+\sin\left(x\right)*y=0[/mm]
Diese hat als Lösung: [mm]y=C*y_{h}\left(x\right)[/mm]
Um jetz die inhomogene DGL zu lösen, macht man das C auch noch von x abhängig. Demnach [mm]y=C\left(x\right)*y_{h}\left(x\right)[/mm].
Diesen Ansatz setzt man nun in die inhomogene DGL ein und ermittelt dann C(x). Dies ist die Methode der ![[]](/images/popup.gif) Variation der Konstanten.
> Dankeschön
>
>
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:11 So 29.06.2008 | | Autor: | sqoody |
Hallo,
ich komme mit der Gleichung nicht wirklich klar.
habe jetzt mal Versucht die homogene Gleichung zu lösen und komme dann auf:
y=ln(-ln(cos(x)))+C
Und das C stelle ich jetzt einfach nach vorne oder wie funktioniert das? (Also C*ln.....)
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Hallo sqoody,
> Hallo,
>
> ich komme mit der Gleichung nicht wirklich klar.
>
> habe jetzt mal Versucht die homogene Gleichung zu lösen und
> komme dann auf:
>
> y=ln(-ln(cos(x)))+C
Das stimmt leider nicht.
Poste doch bitte mal die Rechenschritte, wie Du auf obiges gekommen bist.
>
> Und das C stelle ich jetzt einfach nach vorne oder wie
> funktioniert das? (Also C*ln.....)
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:36 So 29.06.2008 | | Autor: | sqoody |
Also die homogene Gleichung ist ja:
$ [mm] cos(x)\cdot{}y'+sin(x)\cdot{}y=0 [/mm] $
$ cos(x)*y'=-sin(x)*y $
[mm] y'=\bruch{-sin(x)*y}{cos(x)}
[/mm]
$ y'=-tan(x)*y $
[mm] \integral\bruch{1}{y}dy=\integral-tan(x)
[/mm]
So kam ich auf das obige Ergebnis?!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:51 So 29.06.2008 | | Autor: | MathePower |
Hallo sqoody,
> Also die homogene Gleichung ist ja:
>
> [mm]cos(x)\cdot{}y'+sin(x)\cdot{}y=0[/mm]
>
> [mm]cos(x)*y'=-sin(x)*y[/mm]
>
> [mm]y'=\bruch{-sin(x)*y}{cos(x)}[/mm]
>
> [mm]y'=-tan(x)*y[/mm]
>
> [mm]\integral\bruch{1}{y}dy=\integral-tan(x)[/mm]
>
> So kam ich auf das obige Ergebnis?!
Bisher hierher stimmt das.
Ich denke, daß Du Dich dann hier vertan hast:
[mm]\ln\left(y\right)=\ln\left(\cos\left(x\right)\right)+C[/mm]
Wenden wir auf beide Seiten die Exponentialfunktion an:
[mm]e^{\ln\left(y\right)}=e^{\ln\left(\cos\left(x\right)\right)+C}[/mm]
[mm]\gdw e^{\ln\left(y\right)}=e^{\ln\left(\cos\left(x\right)\right)}*\underbrace{e^{C}}_{\tilde{C}}[/mm]
[mm]\Rightarrow y=\tilde{C}*\cos\left(x\right)[/mm]
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:17 So 29.06.2008 | | Autor: | sqoody |
Ja, stimmt da habe ich dann einen Fehler gemacht. Soweit habe ich es aber jetzt Verstanden.
Komme mit dem Vorgang "Variation der Konstanten" nicht klar bzw. verstehe das nicht richtig wie ich nun weiter machen soll, das ganze verwirrt mich leider nur 
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:29 So 29.06.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
y=C(x)*cosx nach Produktregel differenzieren, dann y,y' in die inhomogene Dgl einsetzen, ergibt ne einfachst DGl für C(x), die du durch einfaches integrieren lösen kannst.
Gruss leduart
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