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Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - Differentialgleichung lösen

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Differentialgleichung lösen: Aufgabe

Status:	(Frage) beantwortet
Datum:	13:02 Mi 28.01.2015
Autor:	RudiRabenkopf

Aufgabe

 Lösen Sie folgende Anfangsprobleme durch Trennung der Variablen:

[mm] x^{4} [/mm] y' = 3-2y       y(1) = 02

Hallo,

das grobe Prinzip einer solchen Aufgabe, verstehe ich, aber wenn es dann ums AWP geht, hakts...und auch schon vorher...

ich leg mal los:

[mm] x^{4} [/mm] y' = 3-2y    umschreiben

[mm] x^{4} \bruch{dy}{dx} [/mm] = 3-2y             *dx

[mm] x^{4} [/mm] dy= 3-2y *dx                    : 3-2y

[mm] \bruch{dy * x^{4}}{3-2y} [/mm] = dx            :  [mm] x^{4} [/mm]

[mm] \bruch{dy}{3-2y} [/mm] = [mm] \bruch{dx}{ x^{4}} [/mm]

nun das integral bilden/ziehen/machen/tun...k.a. wie man das nennt

[mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{3-2y}dy} [/mm] = [mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{ x^{4}}dx} [/mm]

einzeln integrieren...

aus [mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{3-2y}dy} [/mm]   wird   Ln(3-2y) (konstante schreibe ich bei der anderen funktion hin)

und bei [mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{ x^{4}}dx} [/mm]

schreibe ich erstmal um:

[mm] \bruch{1}{ x^{4}} [/mm] wird zu  [mm] x^{-4} [/mm]

integrieren:

[mm] -\bruch{1}{ 3}x^{-3} [/mm] = [mm] -\bruch{x^{-3}}{ 3} [/mm] =  [mm] -\bruch{1}{ 3x^{3}} [/mm] +C

nun wieder gegenüber stellen:

Ln(3-2y) = [mm] -\bruch{1}{ 3x^{3}} [/mm]  + C      nun das ganze mal e^ nehmen um Ln aufzulösen

3-2y = [mm] e^{-\bruch{1}{ 3x^{3}}+C} [/mm]                 -3

-2y = [mm] e^{-\bruch{1}{ 3x^{3}}+C} [/mm] -3               : -2

y = [mm] \bruch{e^{-\bruch{1}{ 3x^{3}}+C} -3}{-2} [/mm]

Was habe ich bis hierhin falsch gemacht ?!? in der allgemeinen Lösung steht C nicht im exponent bei e^ ?!? aber wenn ich doch die ganze funktion mal e^ nehme, muss ich doch das +C mitnehmen ?!?

Und wie geht es weiter ?

Es soll  y(1) = 02

soll ich nun machen :

y(x=1) = [mm] \bruch{e^{-\bruch{1}{ 3(1^{3})}+C} -3}{-2} [/mm] = 2 und dann ?!? auflösen und gucken ob das wirklich = 2 ist ? oder nach C auflösen und gucken welchen wert C annehmen muss ?

Gruß Rudi

Bezug

Differentialgleichung lösen: Klammern und Korrekturen

Status:	(Antwort) fertig
Datum:	13:57 Mi 28.01.2015
Autor:	Roadrunner

Hallo Rudi!

> [mm]x^{4}[/mm] y' = 3-2y    umschreiben

> [mm]x^{4} \bruch{dy}{dx}[/mm] = 3-2y             *dx

> [mm]x^{4}[/mm] dy= 3-2y *dx                    : 3-2y

Es fehlen Klammern!

[mm] $x^4 [/mm] \ * \ [mm] \mathrm{dy} [/mm] \ = \ [mm] \red{(}3-2y\red{)} [/mm] \ * \ [mm] \mathrm{dy}$ [/mm]

> [mm]\bruch{dy * x^{4}}{3-2y}[/mm] = dx            :  [mm]x^{4}[/mm]

> [mm]\bruch{dy}{3-2y}[/mm] = [mm]\bruch{dx}{ x^{4}}[/mm]

> nun das integral bilden/ziehen/machen/tun...k.a. wie man das nennt

"integrieren" bzw. "die Stammfunktion bilden"

> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{1}{3-2y}dy}[/mm] =  [mm]\integral_{}^{}{\bruch{1}{ x^{4}}dx}[/mm]

> einzeln integrieren...

> aus [mm]\integral_{}^{}{\bruch{1}{3-2y}dy}[/mm]   wird   Ln(3-2y)
> (konstante schreibe ich bei der anderen funktion hin)

Bilde mal die Ableitung von [mm] $\ln(3-2y)$ [/mm] . Was fällt auf?
Du hast noch einen zusätzlichen Faktor.

> integrieren:

> [mm]-\bruch{1}{ 3}x^{-3}[/mm] = [mm]-\bruch{x^{-3}}{ 3}[/mm] = [mm]-\bruch{1}{ 3x^{3}}[/mm] +C

> nun wieder gegenüber stellen:


> Ln(3-2y) = [mm]-\bruch{1}{ 3x^{3}}[/mm]  + C      nun das ganze mal
> e^ nehmen um Ln aufzulösen

Zunächst noch den fehlenden Faktor auf der linken Seite ergänzen!



> 3-2y = [mm]e^{-\bruch{1}{ 3x^{3}}+C}[/mm]                 -3

> -2y = [mm]e^{-\bruch{1}{ 3x^{3}}+C}[/mm] -3               : -2

> y = [mm]\bruch{e^{-\bruch{1}{ 3x^{3}}+C} -3}{-2}[/mm]

Folgefehler wegen falscher Stammfunktion.
Aber grundsätzlich richtig gerechnet.

> in der  allgemeinen Lösung steht C nicht im exponent bei e^ ?!?
> aber wenn ich doch die ganze funktion mal e^ nehme, muss
> ich doch das +C mitnehmen ?!?

Bedenke, dass gilt nach den

Potenzgesetzen:

[mm] $e^{\text{bla}+c} [/mm] \ = \ [mm] e^{\text{bla}}*e^c$ [/mm]

Und dabei kannst Du [mm] $e^c$ [/mm] als neue Konstante definieren.

> Und wie geht es weiter ?

> Es soll y(1) = 02

> soll ich nun machen :

> y(x=1) = [mm]\bruch{e^{-\bruch{1}{ 3(1^{3})}+C} -3}{-2}[/mm] = 2

Und das nach $C_$ auflösen!

Gruß vom
Roadrunner