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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:45 Di 20.09.2005 | | Autor: | lazo |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo,
habe hier eine DGL vorliegen, die ich mir noch nicht angeschaut habe und eigentlich auch später erst anschauen wollte.
Allerdings hätte ich für später gern schon die Musterlösung vorliegen.
Also wenn jemand Lust hätte die Aufgabe mal für mich durchzurechnen, am besten mit einem schönen ausführlichen Lösungsweg, würde ich mich sehr freuen.
Die Aufgabe lautet:
[mm] y^{''} [/mm] - [mm] y^{'} [/mm] - 6y = [mm] 5*e^{x}
[/mm]
a) Klassifizieren
b) allgemeine Lösung
c) spezielle Lösung zu y(0)=0 und [mm] y^{'}(0) [/mm] = 0
Besten Dank im voraus..
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:08 Mi 21.09.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo!
> Die Aufgabe lautet:
>
> [mm]y^{''}[/mm] - [mm]y^{'}[/mm] - 6y = [mm]5*e^{x}[/mm]
>
> a) Klassifizieren
Offenbar handelt es sich um eine inhomogene DGl zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten.
> b) allgemeine Lösung
Das charakteristische Polynom lautet:
[mm] $p(\lambda) [/mm] = [mm] \lambda^2 [/mm] - [mm] \lambda [/mm] + 6 = [mm] (\lambda [/mm] - 3) [mm] \cdot (\lambda [/mm] +2)$.
Daher bilden [mm] $e^{3t}$ [/mm] und [mm] $e^{-2t}$ [/mm] eine Basis des zweidimensionalen Lösungsraumes der homogenen DGL.
Eine spezielle Lösung bekommt man durch den Ansatz [mm] $y_p(t)=k\cdot e^t$, [/mm] was wegen $k [mm] \cdot (e^x-e^x-6e^x) [/mm] = [mm] 5e^x$ [/mm] zu [mm] $k=\frac{-5}{6}$ [/mm] und damit zu der speziellen Lösung
[mm] $y_p(t) [/mm] = [mm] -\frac{5}{6} e^t$
[/mm]
führt.
Somit lautet die allgemeine Lösung
$y(t) = [mm] -\frac{5}{6}e^t [/mm] + [mm] c_1e^{3t} [/mm] + [mm] c_2 e^{-2t}$.
[/mm]
> c) spezielle Lösung zu y(0)=0 und [mm]y^{'}(0)[/mm] = 0
Dies führt auf das LGS
[mm] $-\frac{5}{6} [/mm] + [mm] c_1 [/mm] + [mm] c_2=0$
[/mm]
[mm] $-\frac{5}{6} +3c_1-2c_2=0$,
[/mm]
was durch [mm] $c_1 [/mm] = [mm] \frac{1}{2}$ [/mm] und [mm] $c_2=\frac{1}{3}$ [/mm] gelöst wird.
Die Lösung dieses AWP ist also:
$y(t) = [mm] -\frac{5}{6}e^t [/mm] + [mm] \frac{1}{2} \, e^{3t} [/mm] + [mm] \frac{1}{3}\, e^{-2t}$.
[/mm]
Liebe Grüße
Julius
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