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| Aufgabe | Berechnen Sie die Lösung der Differentialgleichung
y'=-sin(t)*y, y(0)=2
Welchen Wert hat die Lösung y für [mm] t=\bruch{\pi}{2}, t=\pi, t=2\pi [/mm] |
Hallo.
Dies ist das erste Mal, dass ich mich an eine Differentialgleichung wage, weswegen ich gerne wissen würde, ob mein Rechenweg ok ist.
Gegeben ist die Gleichung y'=-sin(t)*y
Man sucht als eine Stammfunktion, die abgeleitet -sin(t) multipliziert mit der Stammfunktion selbst ergibt.
Meine Lösung wäre demnach: [mm] y=e^{cos(t)}
[/mm]
Daraus würde folgen, dass [mm] y'=-sin(t)*e^{cos(t)}=-sin(t)*y [/mm] ist.
Ferner ist noch die Voraussetzung gegeben, dass y(0)=2 ist.
[mm] e^{cos(0)}=!2 [/mm] soll also gelten.
Es fehlt also noch eine Konstante:
[mm] e^{cos(0)}+C=2 C=2-e^{cos(0)}\approx-0.718 [/mm] auf 3.Nachkommastellen gerundet.
2.Teil der Aufgabe:
Sodass gilt:
[mm] y(\bruch{\pi}{2})=e^{cos(0.5\pi)}-0.718
[/mm]
[mm] y(\pi)=e^{cos(\pi)}-0.718
[/mm]
[mm] y(2\pi)=e^{cos(2\pi)}-0.718
[/mm]
Ist das so ok?
Viele Grüße und danke im Voraus.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:31 Mo 14.02.2011 | | Autor: | fred97 |
> Berechnen Sie die Lösung der Differentialgleichung
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> y'=-sin(t)*y, y(0)=2
>
> Welchen Wert hat die Lösung y für [mm]t=\bruch{\pi}{2}, t=\pi, t=2\pi[/mm]
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> Hallo.
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> Dies ist das erste Mal, dass ich mich an eine
> Differentialgleichung wage, weswegen ich gerne wissen
> würde, ob mein Rechenweg ok ist.
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> Gegeben ist die Gleichung y'=-sin(t)*y
>
> Man sucht als eine Stammfunktion, die abgeleitet -sin(t)
> multipliziert mit der Stammfunktion selbst ergibt.
>
> Meine Lösung wäre demnach: [mm]y=e^{cos(t)}[/mm]
Das ist nur eine Lösung der DGL.
Die allgemeine Lösung lautet:
$y(t)= C* [mm] e^{cos(t)}$ [/mm] ($C [mm] \in \IR$)
[/mm]
> Daraus würde folgen, dass [mm]y'=-sin(t)*e^{cos(t)}=-sin(t)*y[/mm]
> ist.
>
> Ferner ist noch die Voraussetzung gegeben, dass y(0)=2
> ist.
> [mm]e^{cos(0)}=!2[/mm] soll also gelten.
>
> Es fehlt also noch eine Konstante:
Richtig, und wie das richtig geht habe ich oben geschrieben.
FRED
> [mm]e^{cos(0)}+C=2 C=2-e^{cos(0)}\approx-0.718[/mm] auf
> 3.Nachkommastellen gerundet.
>
> 2.Teil der Aufgabe:
>
> Sodass gilt:
> [mm]y(\bruch{\pi}{2})=e^{cos(0.5\pi)}-0.718[/mm]
> [mm]y(\pi)=e^{cos(\pi)}-0.718[/mm]
> [mm]y(2\pi)=e^{cos(2\pi)}-0.718[/mm]
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> Ist das so ok?
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> Viele Grüße und danke im Voraus.
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