Differentialgleichung < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:45 Fr 17.04.2020 | | Autor: | makke306 |
| Aufgabe | | Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der Differentialgleichung mittels Exponentialansatz [mm]y''+10y'=x^2 \cdote e^x[/mm] |
Ich habe für die Homogene Lösung folgendes herausbekommen:
[mm] y_h=C_1+C_2*e^{-10x} [/mm]
Ich verstehe nicht ganz wie ich nun auf die Partikuläre Lösung komme. Muss ich da diese Form wählen: [mm]y_p=(Ax^2+B)e^x[/mm] ? Ich habe den Ansatz von einem youtube video abgeschaut :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:42 Fr 17.04.2020 | | Autor: | fred97 |
> Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der
> Differentialgleichung mittels Exponentialansatz
> [mm]y''+10y'=x^2 \cdote e^x[/mm]
>
> Ich habe für die Homogene Lösung folgendes
> herausbekommen:
> [mm]y_h=C_1+C_2*e^{-10x} [/mm]
>
> Ich verstehe nicht ganz wie ich nun auf die Partikuläre
> Lösung komme. Muss ich da diese Form wählen:
> [mm]y_p=(Ax^2+B)e^x[/mm] ? Ich habe den Ansatz von einem youtube
> video abgeschaut :)
Fast. Mache den Ansatz [mm] y_p(x)=(Ax^2+Bx+C)e^x.
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:31 Fr 17.04.2020 | | Autor: | makke306 |
Habe gerade diesen Ansatz gefunden:
[mm] a_1*e^x+a_2*e^x*x+a_3*e^x*x^2
[/mm]
Kann ich diesen auch hernehmen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:41 Fr 17.04.2020 | | Autor: | chrisno |
klar doch, löse mal die Klammer bei dem, was Fred geschrieben hat auf
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:24 Sa 18.04.2020 | | Autor: | makke306 |
Haha ja stimmt :)
Ich bin nun auf folgende Lösung gekommen:
[mm] y(x)=e^x( \bruch{1}{11}x^2-\bruch{24}{121}x+\bruch{266}{1331})+c_1+c_2*e^{-10x}
[/mm]
Aber jetzt muss ich noch die spezielle Lösung finden die mit einer Steigung von k=1 durch denk Punkt p(0|2) geht.
Wie mache ich das? Muss ich da etwas mit den Randwerten [mm] C_1 [/mm] und [mm] C_2 [/mm] machen?
thx
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Ja klar!
Da y' das [mm] C_1 [/mm] nicht mehr enthält, fängst du am besten damit an, indem du y'(0) berechnest und = 1 setzt. Damit erhältst du [mm] C_2 [/mm] und setzt das in y ein. Nun verlangst du noch y(0)=2, indem du 0 in y einsetzt. Daraus ergibt sich dann [mm] C_1.
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:38 Mo 20.04.2020 | | Autor: | makke306 |
Ok vielen Dank für die Hilfe.
Achso aber eine Frage hätte ich noch: Wieso muss ich diesen Ansatz:t $ [mm] y_p(x)=(Ax^2+Bx+C)e^x. [/mm] $ Wählen und nicht diesen hier $ [mm] y_p=(Ax^2+B)e^x [/mm] $? Wieso muss ich da C mitnehmen
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:47 Mo 20.04.2020 | | Autor: | fred97 |
> Ok vielen Dank für die Hilfe.
> Achso aber eine Frage hätte ich noch: Wieso muss ich
> diesen Ansatz:t [mm] y_p(x)=(Ax^2+Bx+C)e^x.[/mm] Wählen und nicht
> diesen hier [mm] y_p=(Ax^2+B)e^x [/mm]? Wieso muss ich da C
> mitnehmen
Probiers doch einfach aus. Dann solltest Du sehen , das nix gescheites heraus kommt.
Die rechte Seite der DGL ist [mm] x^2e^x, [/mm] also [mm] e^x \cdot [/mm] Polynom vom Grad 2.
Entspr. lautet das Polynom im Ansatz für [mm] y_p. [/mm] Ein Polynom vom Grad 2 hat nun mal die Form [mm] Ax^2+Bx+C.
[/mm]
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