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Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - Differentialgleichung
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Differentialgleichung: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:48 Mo 22.07.2019
Autor: sancho1980

Aufgabe
Lösen Sie die Differentialgleichung

x'(t) = [mm] x(t)^{3} [/mm]

Ich habe versucht, diese Aufgabe so zu lösen, wie es in meinem Buch standardmäßig an verschiedenen Beispielen durchexerziert wird:

Separation der Variablen:

[mm] \bruch{x'(t)}{x(t)^{3}} [/mm] = 1

Das bestimmte Integral anschreiben:

[mm] \integral_{0}^{t}{\bruch{x'(s)}{x(s)^{3}} ds} [/mm] = [mm] \integral_{0}^{t}{1 ds} [/mm]

Substitution u := x(t):

[mm] \integral_{x(0)}^{x(t)}{\bruch{1}{u^{3}} du} [/mm] =  [mm] \integral_{x(0)}^{x(t)}{u^{-3} du} [/mm] = [mm] \integral_{0}^{t}{1 ds} [/mm]

Integrieren:

- [mm] \bruch{1}{2 (x(t))^2} [/mm] - (- [mm] \bruch{1}{2 (x(0))^2}) [/mm] =  [mm] \bruch{1}{2 (x(0))^2} [/mm] - [mm] \bruch{1}{2 (x(t))^2} [/mm] = t

Nach x(t) umstellen:

[mm] \bruch{1}{2 (x(t))^2} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2 (x(0))^2} [/mm] - t = [mm] \bruch{1 - 2 t (x(0))^2}{2 (x(0))^2} [/mm]

2 [mm] (x(t))^2 [/mm] = [mm] \bruch{2 (x(0))^2}{1 - 2 t (x(0))^2} [/mm]


[mm] (x(t))^2 [/mm] = [mm] \bruch{(x(0))^2}{1 - 2 t (x(0))^2} [/mm]

x(t) = [mm] \pm \bruch{x(0))}{\wurzel{1 - 2 t (x(0))^2}} [/mm]

In der Musterlösung steht aber nur lapidar:

"Separation der Variablen liefert

[mm] \integral{\bruch{dx}{x^3}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2x^2} [/mm] = [mm] \integral{dt} [/mm] = t - C

und Auflösen nach x ergibt

x(t) = [mm] \bruch{1}{\wurzel{2(C - t)}}, [/mm] t < C"

Wie passt das zusammen? Was ist an meiner Lösung falsch? Und wieso braucht es bei der Musterlösung kein bestimmtes Integral [mm] (\integral_{0}^{t}) [/mm]

Auch ist mir nicht klar, wie hier die Substitution erfolgt ist. Das ist irgendwie ganz anders als der Lösungsweg für die Differentialgleichung x'(t) = [mm] x(t)^{2}, [/mm] welcher im Buch durchgenommen wird.

        
Bezug
Differentialgleichung: Kommentare
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:40 Di 23.07.2019
Autor: Infinit

Hallo sancho1980,
da diese Aufgabe keine für das Integral zu berücksichtigenden Grenzen besitzt, langt es, wenn Du die unbestimmten Integrale ausrechnest. Du kannst dann zwar gerne [mm] x(t) [/mm] durch [mm] u(s) [/mm] ersetzen, aber bringen tut Dir das nichts.
Du hast den dabei entstehenden Ausdruck schon richtig hingeschrieben, allerdings mit den hier gar nicht relevanten Integralgrenzen.
Das Ganze ist wirklich so ein Zweizeiler wie in Deiner Musterlösung:
[mm] x'(t) = \bruch{dx}{dt} = x^3(t) [/mm] oder auch
nach Trennung der Variablen
[mm] \bruch{dx}{x^3(t)} = 1 [/mm] und ab da geht es direkt so weiter wie in der Musterlösung dargestellt. Aus alter Tradition hätte ich die Integralkonstante positiv und nicht negativ dargestellt, aber das bleibt sich wirklich gleich.
Viele Grüße,
Infinit

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Bezug
Differentialgleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:56 Mi 24.07.2019
Autor: sancho1980

Also mir ist deine Antwort leider nicht ganz klar. Du schreibst, dass die unbestimmten Integrale ausreichend sind. Ist es deswegen falsch, mit dem bestimmten Integral zu rechnen? Ich komme ja immerhin auch auf ein anderes Ergebnis. Ist das falsch? Wenn ja, wieso?
Eigenartigerweise ist dieser Ansatz mit dem unbestimmten Integral in meinem Buch sonst gar nicht erwähnt. Es gibt im zugehörigen Kapitel sogar eine Beispielrechnung anhand der Gleichung

x'(t) = [mm] x(t)^2, [/mm] x(0) = [mm] x_0 [/mm]

Die Lösung lautet:

"Wir trennen die Variablen,

[mm] \bruch{dx}{x^2} [/mm] = dt,

schreiben das Integral an,

[mm] \integral_{x_0}^{x}{\bruch{dy}{y^2} dx} [/mm] = [mm] \integral_{0}^{t}{ds}, [/mm]

und integrieren beide Seiten:

[mm] \bruch{1}{x_0} [/mm] - [mm] \bruch{1}{x} [/mm] = t - 0.

Auflösen nach x ergibt

x(t) = [mm] \bruch{x_0}{1 - x_0 t} [/mm] "

Was ist hieran anders? Warum muss hier wiederum mit dem bestimmten Integral gerechnet werden?

Bezug
                        
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Differentialgleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:07 Mi 24.07.2019
Autor: leduart

Hallo
auch hier sind Fehler drin
[mm] dx/x^2=dt [/mm] ist noch richtig, dann gilt doch allgemein wenn man beide Seiten integriert
-1/x=t+C oder x=-(1/(t+C)  x noch umzubenennen muss man auch, wenn an den Grenzen keine x vorkommen nicht.  Es ist ja nicht immer x(0) gegeben, obwohl das häufig ist. Man kann auch x(1) oder x(-3) als gegeben Punkte haben.
mit [mm] x(0)=x_0 [/mm] kannst du C bestimmen [mm] x_0=-1/C [/mm] also [mm] C=-1/x_0 [/mm] und hast dann [mm] x=-1/(t-1/x_0) [/mm] umgeformt [mm] x=x_0/(1-x_0*t [/mm]
meist ist es schneller das unbestimmte Integral mit Integrationskonstante zu bestimmen, wenn dann Anfangswerte gegeben sind setzt man sie ein und bestimmt damit C. wenn [mm] x(0)=x_0 [/mm] vorgegeben ist, ist dein Verfahren aber natürlich auch richtig.
auch in die vorgegebene allgemeine Lösung kannst du [mm] x(0)=x_0 [/mm] einsetzen und c bestimmen, dann stimmen die Lösungen überein.

Bezug
                                
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Differentialgleichung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:54 Fr 26.07.2019
Autor: sancho1980

Hallo,

Dankeschön. Dein Schreibstil ist zwar ein Bisschen anstrengend zu lesen, aber ich glaub jetzt hab ich's kapiert :-)

Martin

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