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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:19 So 11.01.2009 | | Autor: | newday |
| Aufgabe | | Man stelle das Richtungsfeld der Differentialgleichung y'=-x/y graphisch dar und ermittle auf Grund der Skizze die allgemeine Lösung der Differentialgleichung. |
Also soviel ich Verstanden habe muss ich ein Richtungsfeld zeichen, weiß aber nicht so wirklich wie das funktioniert? Also eine "Isokline" aufstellen nur wie?
[mm] y'=-\bruch{x}{y}
[/mm]
[mm] C=-\bruch{x}{y}
[/mm]
[mm] y=\bruch{-x}{C} [/mm] ?
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> Man stelle das Richtungsfeld der Differentialgleichung
> y'=-x/y graphisch dar und ermittle auf Grund der Skizze die
> allgemeine Lösung der Differentialgleichung.
> Also soviel ich Verstanden habe muss ich ein Richtungsfeld
> zeichen, weiß aber nicht so wirklich wie das funktioniert?
> Also eine "Isokline" aufstellen nur wie?
>
> [mm]y'=-\bruch{x}{y}[/mm]
>
> [mm]C=-\bruch{x}{y}[/mm]
>
> [mm]y=\bruch{-x}{C}[/mm] ?
Wenn du jetzt [mm] $\bruch{-1}{C}= [/mm] m$ setzt, hast du $\ y=m*x$
Du kannst auch so vorgehen, dass du im x-y-Koordi-
natensystem einfach einmal anfängst, bei einer
Anzahl von Gitterpunkten (mit [mm] x,y\in \IZ) [/mm] y' zu berechnen
und dort ein kurzes Tangentenstücklein mit dieser
Steigung einzuzeichnen. Im vorliegenden Beispiel
wird sofort klar, wie das gesamte Richtungsfeld und
die Lösungskurven aussehen müssen.
Nachdem du dies für ein paar Beispiele selber
gemacht und begriffen hast, worum es geht, kannst
du auf die Suche nach Applets gehen, die diese
Arbeit übernehmen.
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:48 So 11.01.2009 | | Autor: | newday |
hab jetzt mal für
x=0;1;2;-1;-2
y=0;1;2;-1;-2
das y' berechnet, es kommt immer -x veraus?
y'=-1/1
y'=-1
[mm] y=\integral{-1 dx}
[/mm]
y=-x
was sagt mir das nun? das die Linien alle im negativen x Bereich laufen?
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> hab jetzt mal für
> x=0;1;2;-1;-2
> y=0;1;2;-1;-2
>
> das y' berechnet, es kommt immer -x veraus?
>
> y'=-1/1
> y'=-1
> [mm]y=\integral{-1 dx}[/mm]
> y=-x
>
> was sagt mir das nun? das die Linien alle im negativen x
> Bereich laufen?
Hallo newday,
du scheinst meine Erläuterungen nicht ganz
verstanden zu haben. Nehmen wir einmal
zwei Punkte als Beispiel:
1.) $\ A(x=4\ /\ y=2)$ [mm] y'=-\bruch{x}{y}=-\bruch{4}{2}=-2
[/mm]
2.) $\ B(x=-4\ /\ y=3)$ [mm] y'=-\bruch{x}{y}=-\bruch{-4}{3}=\bruch{3}{4}
[/mm]
Zeichne also im Punkt A(4/2) ein Tangentenstücklein
mit der Steigung [mm] m_A=-2 [/mm] ein und im Punkt B(-4/3) ein
solches mit der Steigung [mm] m_B=\bruch{3}{4} [/mm] .
Mach das noch für ein paar weitere Punkte, auch solche
im dritten und im vierten Quadranten und auf den
Koordinatenachsen. Ich müsste mich schwer täuschen,
wenn du dann nicht bald siehst, "wie der Hase läuft".
Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:31 So 11.01.2009 | | Autor: | newday |
Bin leider zu dumm dafür, kann zwar die kleinen Steigungen einzeichnen aber es scheint also ob sie ein Ellipse um den Ursprung bilden?
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> es scheint also ob sie ein Ellipse um den
> Ursprung bilden?
Richtig - die Lösungskurven sind sogar Kreise.
Alle konzentrischen Kreise mit dem gemeinsamen
Mittelpunkt O(0/0) sind Lösungskurven. Lass dir
das Richtungsfeld mal mit einem Applet zeichnen,
z.B. mit diesem: ![[]](/images/popup.gif) Applet für Richtungsfelder
Noch eine Bemerkung:
Entlang der x-Achse versagt die Differential-
gleichung in der Form
$\ y'\ =\ [mm] -\bruch{x}{y}$
[/mm]
weshalb man diese besser in der Form
$\ y*y'+x\ =\ 0$
schreibt, bei der keine Division durch x vorkommt.
So war die DGL ja möglicherweise auch gegeben.
Gruß Al-Chw.
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 18:26 So 11.01.2009 | | Autor: | newday |
das mit dem durch x Dividieren ist mir aufgefallen, die Werte habe ich dann nicht verwendet, aber logisch das man das so überschiffen kann....
nur wie kann ich dazu jetzt eine allgemeine Lösung der DGL angeben?
einfach die "Kreisfunktion" mit r=C und M(0/0)?
also rein optische Beobachtung das es Kreise sind?
[mm] y=+-\wurzel{C^2-x^2}
[/mm]
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> einfach die "Kreisfunktion" mit r=C und M(0/0)?
> also rein optische Beobachtung das es Kreise sind?
>
> [mm]y\ =\ \pm\ \wurzel{C^2-x^2}[/mm]
Über die rein "optische" Betrachtung (die für die
Lösungsfindung aber jedenfalls mal sehr hilfreich
ist !) hinaus kannst du erst einmal mit den Iso-
klinen argumentieren. Das sind hier die Geraden
durch den Ursprung O. Die Lösungskurven müssen
alle Isoklinen unter einem rechten Winkel schnei-
den. Das geht hier sicher nur mit Kreisen um den
Mittelpunkt O. Wer mit solchen geometrischen
Argumenten noch nicht zufrieden ist, kann na-
türlich nach einer mehr rechnerischen Argumen-
tation fragen. Man soll sich aber dabei nichts
vormachen: Auch solche "analytischen" Lösungen
stützen sich letztlich auf geometrische Grundlagen.
Wer irgendwo in der Rechnung den Satz von
Pythagoras, eine trigonometrische Funktion
oder eine umgekehrte trigonometrische Funktion
benützt, der stützt sich auch auf Erkenntnisse,
die jedenfalls ursprünglich geometrischer Natur
sind. Ich würde es jedenfalls begrüssen, wenn die
"Austreibung der Geometrie aus der Mathematik"
endlich einmal ein Ende fände. Immerhin sind wir
Menschen im Gegensatz zu unseren heutigen Compu-
tern Wesen mit einem hochausgebildeten Gesichts-
sinn und damit einhergehend auch mit einem ange-
borenen Sinn für Geometrie im ein- , zwei- und
dreidimensionalen Raum.
LG Al-Chwarizmi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:37 So 11.01.2009 | | Autor: | newday |
Al-Chwarizmi, herzlichen Dank für die Hilfe!
ich bleibe also bei der Lösung und argumentieren (wenn es denn jemand hinterfragen will) mit deinen Argumenten ;)
Ist halt meist so das man in der Mathematik alles doppelt und dreifach beweisen muss, aber ich denke hier siegt mal echt die menschliche Logik...
btw.: hab da noch so ne Aufgabe (Potenzreihenansatz) wo ich Hilfe und etwas Ansatz Erklärung brauchen könnte, vl. hat wer noch lust, wäre toll...habs als eigenen thread unter"Gewöhnliche Differentialgleichungen"...
glg
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