Differentialformen integrieren < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:08 Mo 24.01.2005 | | Autor: | Sabeth |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo!
Ich höre dieses semester analysis3 und wir müssen folgende aufgabe bearbeiten:
Gegeben sei die mannigfaltigkeit [mm] M =\{\left( x,y,z \right)^T \in \IR^3| \bruch{x^2}{a^2}+ \bruch{y^2}{b^2}+ \bruch{z^2}{c^2}=1 , z>0\} [/mm], (a,b,c>0), und die 2-Form [mm]\omega=xdy \wedge dz+ydx \wedge dz+zdx \wedge dy[/mm].
Berechne das integral [mm] \integral_{M} \omega[/mm]
dazu muss man wohl eine karte basteln und das ganze in kugelkoordinaten transformieren ?!?
ich weiß nur leider nicht wie man so eine karte genau macht, das wäre mein erstes problem (soweit man überhaupt eine karte braucht ).
mein zweites problem ist, dass ich nicht weiß was ich mit dem dachprodukt machen muss, wie genau integriert man den sowas, kann man das irgendwie zerlegen???
mir würde auch schon eine internet-seite weiterhelfen auf der eine ähnliche aufgabe mal beispielhaft vorgerechnet ist, weil ich einfach nicht weiß, wie ich an diese aufgabe herangehen soll.
vielen dank im voraus für jede hilfe!!!
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Hallo Sabeth,
zu den Karten:
Eine Karte ist ein regulär parametrisiertes Flächenstück, hier bei gilt:
[mm]\det \frac{{\partial \left( {\widetilde{u},\;\widetilde{v}} \right)}}
{{\partial \left( {u,\;v} \right)}}\; \ne \;0[/mm]
,wobei
[mm]\begin{gathered}
\widetilde{u}\; = \;\widetilde{u}\left( {u,\;v} \right) \hfill \\
\widetilde{v}\; = \;\widetilde{v}\left( {u,\;v} \right) \hfill \\
\end{gathered} [/mm]
zu den Differentialformen:
Es gelten hierbei gewisse Rechenregeln:
[mm]\begin{gathered}
\left[ {du\; \wedge \;du} \right]\; = \;0 \hfill \\
\left[ {du\; \wedge \;dv} \right]\; = \; - \left[ {dv\; \wedge \;du} \right] \hfill \\
\end{gathered} [/mm]
Wenn x = x(u,v) dann ist
[mm]dx\; = \;x_u \;du\; + \;x_v \;dv[/mm]
das vollständige Differential
[mm]\begin{gathered}
\left[ {dx\; \wedge dy} \right]\; = \;\left[ {\left( {x_u \;du\; + \;x_v \;dv} \right)\; \wedge \;\left( {y_u \;du\; + \;y_v \;dv} \right)} \right] \hfill \\
= \;x_u \;y_u \;\left[ {du\; \wedge \;du} \right]\; + \;x_u \;y_v \;\left[ {du\; \wedge \;dv} \right]\; + \;x_v \;y_u \;\left[ {dv\; \wedge \;du} \right]\; + \;y_u \;y_v \;\left[ {dv\; \wedge \;dv} \right] \hfill \\
= \;x_u \;y_v \;\left[ {du\; \wedge \;dv} \right]\; + \;x_v \;y_u \;\left[ {dv\; \wedge \;du} \right] \hfill \\
= \;\left( {x_u \;y_v \; - \;x_v \;y_u } \right)\;\left[ {du\; \wedge \;dv} \right] \hfill \\
\end{gathered} [/mm]
Die anderen beiden Formen
[mm]\begin{gathered}
\left[ {dx\; \wedge \;dz} \right] \hfill \\
\left[ {dy\; \wedge \;dz} \right] \hfill \\
\end{gathered} [/mm]
werden nach dem selben Schema berechnet.
Das Integral wird dann wie folgt ausgerechnet:
[mm]\int\limits_\mathbb{M} {f\;\left[ {du\; \wedge \;dv} \right]\; = \;\iint {f(u,\;v)\;du\;dv}} [/mm]
Ich hoffe, ich konnte ein wenig helfen.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:44 Mi 26.01.2005 | | Autor: | Sabeth |
hallo MathePower
habe ich dich richtig verstanden, wenn ich das dann folgendermaßen mache:
f(u,v) = f(x(u,v), y(u,v), z(u,v)) mit
x(u,v) = u
y(u,v) = v
z(u,v) = [mm]c* \wurzel{1- \bruch{u^2}{a^2}- \bruch{v^2}{b^2}}[/mm]
[mm]\left[ {dx\; \wedge dy} \right]\; = \left( {x_u \;y_v \; - \;x_v \;y_u } \right)\;\left[ {du\; \wedge \;dv} \right] = \left( 1 - 0} \right) \left[ {du\; \wedge \;dv} \right] [/mm]
[mm]\integral_{M} {z dx\; \wedge dy} =\integral_{M} {{c* \wurzel{1- \bruch{u^2}{a^2}- \bruch{v^2}{b^2}}} du\; \wedge dv} = \integral \integral {{c* \wurzel{1- \bruch{u^2}{a^2}- \bruch{v^2}{b^2}}} du\; dv} [/mm]
um dieses integral zu berechnen benutze ich dann polarkoordinaten:
u = r*cos(x)
v = r*sin(x)
die anderen beiden teile der differentialform löse ich analog
ist das soweit richtig???
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Hallo,
wenn Du bei dem Doppelintegral zuerst nach u integrierst, dann mußt Du folgende Substitution verwenden:
[mm]\sqrt {1\; - \;\frac{{v^{2} }} {{b^{2} }}} \;\sin \left( t \right)\; = \;\frac{u} {a}[/mm]
bzw. nach v:
[mm]\sqrt {1\; - \;\frac{{u^{2} }} {{a^{2} }}} \;\sin \left( t \right)\; = \;\frac{v} {b}[/mm]
Die Berechnung der Differentialform ist ok.
Gruß
MathePower
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