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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:24 Mo 05.05.2008 | | Autor: | Riley |
| Aufgabe | | Betrachte die Differentialform [mm] \omega [/mm] = [mm] \frac{ x dy - y dx}{x^2 + y^2}, [/mm] die in [mm] A=\IR^2 [/mm] - (0,0) stetig diffbar ist. Gibt es eine in A stetig diffbare Funktion f, für die df = [mm] \omega [/mm] gilt? Guibt es andere Gebiete B, in denen [mm] \omega [/mm] = df ist? |
Hallo,
ich hab hier mal wieder eine Aufgabe zu den Differentialformen und ich komm nicht wirklich weiter. Also wir haben diese Differentialform mal als Kurvenintegral über einem Kreis berechnet.
Läuft das hier dann auf den Stokesschen-Satz raus? Aber wir kann ich das über ganz [mm] \IR^2 [/mm] ohne den Nullpunkt integrieren? Eigentlich ist das doch eine SIngularität? Darf man da so einfach "drumrum" integrieren? Und wie kann ich andere Gebiete B finden...?? *help*
Viele Grüße,
Riley
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:41 Di 06.05.2008 | | Autor: | SEcki |
> ich hab hier mal wieder eine Aufgabe zu den
> Differentialformen und ich komm nicht wirklich weiter. Also
> wir haben diese Differentialform mal als Kurvenintegral
> über einem Kreis berechnet.
Was kam denn raus? Was müüste rauskommen, wenn es so ein f gäbe?
> Läuft das hier dann auf den Stokesschen-Satz raus?
Ich sehe keinen kompakten Rand hier ...
> Aber wir
> kann ich das über ganz [mm]\IR^2[/mm] ohne den Nullpunkt
> integrieren? Eigentlich ist das doch eine SIngularität?
Kurvenintegral - oder was willst du hier machen? Bzw. stückweise eine Stammfunktion, also so ein f finden?
> Darf man da so einfach "drumrum" integrieren?
Nein, das geht schief.
> Und wie kann
> ich andere Gebiete B finden...?? *help*
Lemma von Poincare - Integration auf Sterngebieten.
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:11 Di 06.05.2008 | | Autor: | Riley |
Hallo SEcki,
danke für deine Antwort!
> Was kam denn raus? Was müüste rauskommen, wenn es so ein f
> gäbe?
WIr haben einmal um den Einheitskreis um den Nullpunkt integriert, da kam [mm] 2\pi [/mm] raus, Null müsste rauskommen, wenn es so ein f gäbe, oder?
D.h. daraus kann man schon schließen, dass [mm] \omega [/mm] nicht das Differential einer Funktion sein kann?
Langt das schon als Begründung?
Dann haben wir noch den Kreis mit Radius 1 um (0,2) genommen, da kam dann Null raus. D.h. weil das Gebiet hier nicht den Nullpunkt enthält, also zusammenziehbar ist, gäbe es so eine Funktion?
Ah, danke für den Hint mit dem Poincaréschen Lemma. Wenn ich das richtig verstanden habe, geht es darum wann man die Aussage [mm] "\phi [/mm] exakt [mm] \Rightarrow \phi [/mm] geschlossen" umkehren kann - und das geht nur auf so sternförmigen Gebieten? Dann ist diese Form [mm] \omega [/mm] hier ein Beispiel dafür, dass das so ohne Weiteres nicht geht?
Denn [mm] \omega [/mm] ist geschlossen, weil d [mm] \omega [/mm] = 0 gilt, bzw weil [mm] \frac{\partial}{\partial y}( \frac{-y}{x^2+y^2}) [/mm] = [mm] \frac{\partial}{\partial x} [/mm] ( [mm] \frac{x}{x^2+y^2}) [/mm] = [mm] \frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2} [/mm] gilt.
Achso, und andere Gebiete, in denen [mm] \omega [/mm] = df ist, gibt es schon. z.B. der Einheitskreis um (0,2) von oben.
Im Forster hab ich gesehen, dass man z.B. auch einfach die negative x-Achse weglassen könnte, also das Gebiet [mm] \IR^2 \setminus \{(x,0): x \leq 0 \}, [/mm] das dann sternförmig zu (1,0) ist. Warum nimmt man da nur die x-Achse raus? Da entsteht doch dann auch ein "Loch"?
Und wie kann man die Frage nach den "anderen Gebieten B" vollständig beantworten? Langt es wenn ich diese beiden Bspe nenne, oder kann man irgendwie alle angeben...??
Vielen Dank für die Hilfe, und sorry für die vielen Fragen...
Liebe Grüße,
Riley
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:13 Di 06.05.2008 | | Autor: | SEcki |
> D.h. daraus kann man schon schließen, dass [mm]\omega[/mm] nicht
> das Differential einer Funktion sein kann?
Ja.
> Dann haben wir noch den Kreis mit Radius 1 um (0,2)
> genommen, da kam dann Null raus. D.h. weil das Gebiet hier
> nicht den Nullpunkt enthält, also zusammenziehbar ist, gäbe
> es so eine Funktion?
Ja.
> Dann
> ist diese Form [mm]\omega[/mm] hier ein Beispiel dafür, dass das so
> ohne Weiteres nicht geht?
Ja.
> Im Forster hab ich gesehen, dass man z.B. auch einfach die
> negative x-Achse weglassen könnte, also das Gebiet [mm]\IR^2 \setminus \{(x,0): x \leq 0 \},[/mm]
> das dann sternförmig zu (1,0) ist. Warum nimmt man da nur
> die x-Achse raus? Da entsteht doch dann auch ein "Loch"?
Nein - das Gebiet ist zusammenziehbar, man nimmt eine Halbgerade heraus.
> Und wie kann man die Frage nach den "anderen Gebieten B"
> vollständig beantworten? Langt es wenn ich diese beiden
> Bspe nenne, oder kann man irgendwie alle angeben...??
Das wären wohl zu viele um sie direkt anzugeben - es war ja auch nicht nach allen, sondern nach der Existenz einer solchen gefragt.
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:00 Di 06.05.2008 | | Autor: | Riley |
Hallo SEcki,
danke für deine schnelle Antwort!
D.h. damit wäre die Aufgabe schon ganz gelöst? Dann wäre sie ja gar nicht so schlimm wie befürchtet - dank deiner Hilfe 
Nur noch eine Frage. Bedeutet zusammenziehbar und sternförmig das Gleiche, oder gibt es da einen Unterschied?
Und beides betrachtet man immer bezüglich eines bestimmten Punktes?
Dann versteh ich auch das mit der weggelassenen halben x-Achse.
Viele Grüße,
Riley
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:29 Di 06.05.2008 | | Autor: | SEcki |
> D.h. damit wäre die Aufgabe schon ganz gelöst?
Ja.
> Nur noch eine Frage. Bedeutet zusammenziehbar und
> sternförmig das Gleiche, oder gibt es da einen
> Unterschied?
Ja, gibt es. Wenn du einen Kreisring nimmst und eine Gerade wegschneidest, ist das nicht sternförmig aber zusammenziehbar.
> Und beides betrachtet man immer bezüglich eines bestimmten
> Punktes?
Naja, also sterförmig heisst es gibt einen "Stern", zusammenziehbar kann man auch mit freier Homotopie oder aber mit einem Basispunkt machen (was hier auf das gleiche hinausläuft). Die direkte Stammfunktion findet man, in dem man auf geraden Wegen integriert - daher Sterngebiete, was ich als erstes in Erinnerung hatte.
SEcki
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:00 Mi 07.05.2008 | | Autor: | Riley |
Hi Secki,
ok, vielen Dank für deine Erklärungen!!!
Viele Grüße,
Riley
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:03 Do 08.05.2008 | | Autor: | Riley |
Hallo SEcki,
jetzt hab ich doch nochmal eine Frage. Warum muss das Integral eigentlich Null sein, wenn es so eine Funktion f gibt? Irgendwie ist mir das nicht wirklich klar...? Ist es weil Funktionen 0 oder 1-Formen sind und die abgeleitet Null ergeben'?
Viele Grüße,
Riley
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:19 Do 08.05.2008 | | Autor: | SEcki |
> jetzt hab ich doch nochmal eine Frage. Warum muss das
> Integral eigentlich Null sein, wenn es so eine Funktion f
> gibt? Irgendwie ist mir das nicht wirklich klar...? Ist es
> weil Funktionen 0 oder 1-Formen sind und die abgeleitet
> Null ergeben'?
Nein, sondern weil falls es so eine Funktion gäbe das Kurvenintegral dann den Wert [m]f(a)-f(b)[/m] hätte - mit a bzw. b der Anfangs bzw. Endpunkt.
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:08 Do 08.05.2008 | | Autor: | Riley |
| Aufgabe | Gibt es eine Differentialform [mm] \phi, [/mm] die in [mm] \IR^3 \setminus \{(0,0,0)\} [/mm] stetig diffbar ist und die Gleichung d [mm] \phi [/mm] = [mm] \omega [/mm] erfüllt?
[mm] \omega [/mm] = [mm] (x^2+y^2+z^2)^{-\frac{3}{2}} [/mm] (x dy [mm] \wedge [/mm] dz + y dz [mm] \wedge [/mm] dx + z dx [mm] \wedge [/mm] dy) |
Hallo,
ich glaube diese Aufgabe ist recht ähnlich, allerdings ist hier eine Differentialform und kein f gesucht?
Muss ich hier dann auch berechnen [mm] \int \omega [/mm] und schauen ob das Null bzw ungleich Null ist?
Oder hilft es [mm] d\omega [/mm] zu berechnen, bzw herauszufinden für welche f [mm] d\omega [/mm] gleich Null wird?
Viele Grüße,
Riley
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:26 Do 08.05.2008 | | Autor: | SEcki |
Erstmal: neue Frage, neuer Thread!
> ich glaube diese Aufgabe ist recht ähnlich, allerdings ist
> hier eine Differentialform und kein f gesucht?
Naja, eine 1-Form. Vorher war eine Funktion, also eine 0-Form gefragt.
> Muss ich hier dann auch berechnen [mm]\int \omega[/mm] und schauen
> ob das Null bzw ungleich Null ist?
Aber worüber denn? Bei der anderen Aufgabe war es ein Kreis - also 1-dim. Mgf zur 1-Form. Jetzt brauchst du eine 2-dim. Mgf. für die 2-Form.
> Oder hilft es [mm]d\omega[/mm] zu berechnen, bzw herauszufinden für
> welche f [mm]d\omega[/mm] gleich Null wird?
Was für ein f?!? Falls [mm]d\omega \ne 0[/mm] gibt es so eine Form sicher nicht mehr wegen [m]d^2=0[/m]. Aber: integriere diese 2-Form mal über die Sphäre mit Radius 1 (das wurde hier vor kurzem mal gemacht - das ist die Volumenform der Sphäre iirc). Falls das nicht 0 ist, ist das ein Widerspruch - weil nach Stokes das Integral auf der Sphäre 0 sein müsste.
SEcki
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:57 Sa 10.05.2008 | | Autor: | Riley |
Hi SEcki,
okay, vielen Dank für deine Hilfe und die Erkärungen!!
Viele Grüße,
Riley
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