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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:22 So 11.03.2007 | | Autor: | Drainez |
| Aufgabe | | Herleitung der Ableitung f(x)=sin(x) f´(x)=cox(x) |
Guten Tag, ich hätte da jedeglich ein Problem wie man von sin(x) über die Ableitung zu cos(x) kommt.
y´= d sin(x)
dx
y´= sin(x)*cos(dx)+cos(x)*sin(dx)-sin(x)
dx
y´= sin(x+dx)-sinx
dx
y´= sin(x)+cos(x)sin(dx)-sin(x)
dx
y´=cos(x)
hab ich dazu gegeben, leider kann ich damit überhaubt nichts anfangen, könnte mir wer bitte eine schrittweise Erklärung dazu geben, wenn nicht sogar eine einfachere Herleitung, bitte aber nicht über Potenzreihen, wäre sehr nett?
Vielen Dank
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Bis hier ist alles richtig:
>
> y´= sin(x)+cos(x)sin(dx)-sin(x)
> dx
Jetzt noch
y´= cos(x)sin(dx)
dx
y´= cos(x) sin(dx)
dx
Nun musst du dir klarmachen, dass sin(dx)/dx = 1 ist. Diese Beziehung gilt aber nur im Bogenmaß, und deshalb ist nur im Bogenmaß
y´=cos(x).
Zeichne über einem waagerechten Durchmesser einen Halbkreis, der Radius soll 1 sein (du musst aber nicht 1 cm nehmen, dann siehst du nichts). Ziehe vom Mittelpunkt einen Radius (vielleicht 30° Anstieg) nach rechts und von seinem Endpunkt E auf dem Kreis eine senkrechte Linie h, die im rechten Winkel auf den Durchmesser trifft.
Nenne den Winkel zwischen Radius und Durchmesser dx. Weil der Radius 1 ist, siehst du, dass h=sin(dx) ist.
Da wir im Bogenmaß arbeiten (!), ist das Kreisbogenstück von E bis zum Durchmesser ebenfalls dx (beim Radius 1 ist Winkel=Bogenlänge).
Schau dir nun das Verhältnis sin(dx)/dx an: Wenn dx ganz klein wird, wird es 1.
Bemerkung: Die trigonometrischen Funktionen sind als Dreiecksverhältnisse und damit geometrisch definiert. Zusätzlich gibt es algebraische Entsprechungen (unendliche Reihe). Will man bei Beweisen auf die algebraische Definition verzichten, kann man die Beweise auch nur auf geometrische Art durchführen.
Im Anhang noch eine weitere graphische Herleitung.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: doc) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:33 So 11.03.2007 | | Autor: | Drainez |
Ahh vielen Dank, so kann man sich das wenigstens mal vor Augen führen, hilft schon um einiges.
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