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Differential, Mannigfaltigkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:32 Mi 16.05.2012
Autor: Anfaenger101

Aufgabe
Seien [mm] M=\IR^{n} [/mm] und N = [mm] \IR^{n}, [/mm] jeweils aufgefasst als differenzierbare Mannigfaltigkeiten mit den globalen Karte (x,U) = (Identität auf dem [mm] \IR^{m}, \IR^{m}) [/mm] und (y,V) = (Identität auf dem [mm] \IR^{n}, \IR^{n}). [/mm] Sei weiter f : M [mm] \to [/mm] N eine differenzierbare Abbildung. Geben Sie das Differential [mm] f_{\*}|_{p}: [/mm] TpM [mm] \to [/mm] Tf(p)N bezüglich der Karten x und y an.

Hallo Leute,

ich werde gerade verrückt, weil ich bei mir im Skript einfach nichts passendes finde, was sich hier anwenden lassen würde und auch sonst keine Idee habe, wie ich das genau handhaben soll.

In der Vorlesung haben wir das Differential wiefolgt definiert:
Sei v [mm] \in [/mm] TpM (hier ist der algebraische Tangentialraum gemeint, mit v Richtungsableitung) und [mm] \phi [/mm] ein Funktionskeim (also eine glatte Abbildung N [mm] \to \IR), [/mm] dann ist [mm] (f_{\*}|_{p}v)(\phi) [/mm] := [mm] v(\phi \circ [/mm] f)

Das bringt mich leider nicht weiter. Wollte noch versuchen, v bzw. [mm] (f_{\*}|_{p}v) [/mm] mit der Basisdarstellung der Tangentialräume TpM bzw. Tf(p)N auszudrücken, aber das hat mir leider nix gebracht.

Wäre nett, wenn mir hier jemand helfen könnte.

Viele Grüße

Anfänger

        
Bezug
Differential, Mannigfaltigkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:58 Mi 16.05.2012
Autor: SEcki


> Das bringt mich leider nicht weiter. Wollte noch versuchen,
> v bzw. [mm](f_{\*}|_{p}v)[/mm] mit der Basisdarstellung der
> Tangentialräume TpM bzw. Tf(p)N auszudrücken, aber das
> hat mir leider nix gebracht.

Was kam denn raus?

Btw: glaub mir, es hilft dir am meisten, wenn du dieses Trivialbeispiel versuchst an Hand deiner Definitionen (und Sätze) präzise zu lösen.

SEcki


Bezug
                
Bezug
Differential, Mannigfaltigkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:32 Do 17.05.2012
Autor: Anfaenger101

Ich habe rausgebracht, dass gilt:

[mm] f_{\*}|_{p}v [/mm] = [mm] v(x^{j}) \partial/\partial x^{j}|_{p} (y^{i} \circ [/mm] f) [mm] \partial/\partial y^{i}|_{f(p)} [/mm]

Ich denke mal, dass im Endeffekt die Jacobi-Matrix rauskommen sollte.
Allerdings weiß ich nicht, wie ich hier fortfahren soll. Es sind zwar x und y die jeweiligen Identitäten, doch wie soll ich das hier einsetzen, um auf die Jacobi-Matrix zu kommen?

Grüße

Bezug
                        
Bezug
Differential, Mannigfaltigkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:11 Do 17.05.2012
Autor: SEcki


> Allerdings weiß ich nicht, wie ich hier fortfahren soll.
> Es sind zwar x und y die jeweiligen Identitäten, doch wie
> soll ich das hier einsetzen, um auf die Jacobi-Matrix zu
> kommen?

Wie meinst du das? Erklär mir bzw. dir doch bitte, Schritt für Schritt, was die einzelnenn Symbole bedeuten sollen - und was du hier konkret einsetzen musst. Und was dann die wie identifiziert werden kann.

SEcki


Bezug
                                
Bezug
Differential, Mannigfaltigkeit: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:14 Fr 18.05.2012
Autor: Anfaenger101

Hallo,

tut mir Leid, dass ich mich jetzt erst melde.
Hab die Aufgabe jetzt denke ich alleine lösen können, auf jeden Fall danke ich dir für deine Hilfe!

Viele Grüße

Bezug
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