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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:11 Mi 20.01.2010 | | Autor: | andi7987 |
| Aufgabe | Ein Seil der Länge l und der Masse m gleitet über eine Tischkante.
Ist x = x(t) die Länge des überhängenden Seils zur Zeit t, so ist die auf das Seil einwirkende Kraft gleich dem Gewicht des überhängenden Seiles, also (x/l)m*g.
Die Differentialgleichung der Bewegung lautet somit
x'' - [mm] \bruch{g}{l}*x [/mm] = 0
1.) Lösen die Differentialgleichung für ein 1,50 m langes Seil, das zu Beginn t = 0 zur Hälfte überhängt und sich aus der Ruhe heraus in Bewegung setzt.
2.) Nach welcher Zeit ist das Seil abgerutscht? |
So, jetzt einmal mein Anfang:
x'' - [mm] \bruch{g}{l}*x [/mm] = 0
[mm] \lambda^{2} [/mm] - [mm] \bruch{g}{l} [/mm] = 0
[mm] \lambda1;2 [/mm] = +- [mm] \bruch{g}{l}
[/mm]
g = mit 9,81 m/s bekannt (Physik)
l = 1,5 m
Daher kommt hier
[mm] \lambda1;2 [/mm] = + - [mm] \bruch{9,81 m / s}{1,5 m}
[/mm]
[mm] \lambda1;2 [/mm] = +- 2,55 s raus
Da es unterschiedlich ist, kommt laut Formelbuch folgendes zur Anwendung:
yh = c1 * [mm] e^{2,55 x} [/mm] + c2 * [mm] e^{-2,55 x}
[/mm]
Hier steh ich dann leider ein wenig an!
Was weiter, welche Überlegungen muss ich anstellen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:36 Mi 20.01.2010 | | Autor: | pelzig |
Also erstens ist [mm] $\lambda_{1,2}=\pm\sqrt{\frac{g}{l}}$. [/mm] Zweitens hat $g$ die Einheit [mm] $ms^{\red{-2}}$ [/mm] und damit [mm] $\lambda$ [/mm] die Einheit [mm] $s^{-1}$. [/mm] Die allgemeine Lösung der DGL lautet damit [mm] $x(t)=c_1e^{\lambda_1 t}+c_2e^{\lambda_2 t}$ [/mm] und die Zahlen [mm] $c_1,c_2$ [/mm] bestimmst du, indem du die Anfangsbedingungen $x(0)=0,75m$ und $x'(0)=0m/s$ benutzt.
Gruß, Robert
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:57 Do 21.01.2010 | | Autor: | andi7987 |
Ich komm da auf kein Ergebnis irgendwie!
Jetze nehme ich:
y(t) = c1 * [mm] e^{\lambda*0} [/mm] + c2* [mm] e^{\lambda*0}
[/mm]
y(0) = 0,75
0,75 = c1 * [mm] e^{2,55*0} [/mm] + c2* [mm] e^{2,55*0}
[/mm]
0,75 = c1 + c2
c1 = 0,75 - c2
y'(0) = 0
y'(t) = [mm] \lambda [/mm] * (c1 + c2) * [mm] e^{\lambda*x}
[/mm]
0 = 2,55 * (c1 + c2) * [mm] e^{2,55 * 0}
[/mm]
2,55 * (0,75 - c2 + c2) * 1
Hier löst sich dann c2 irgendwie auf!
Was mach ich falsch?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:22 Do 21.01.2010 | | Autor: | qsxqsx |
Hallo,
Du hast doch y(t) falsch abgeleitet, nicht?
Es ist doch Lambda1 * c1 + Lambda2 * c2 bei den Koeffizienten...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:53 Do 21.01.2010 | | Autor: | andi7987 |
Steh auf der Leitung! ?? 
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Hallo andi7987,
> Steh auf der Leitung! ??
>
>
Die Lösung lautet:
[mm]x\left(t\right)=c_{1}*e^{\lambda*t}+c_{2}*e^{\red{-}\lambda*t}[/mm]
Differenziert nach t ergibt:
[mm]x'\left(t\right)=c_{1}*\lambda*e^{\lambda*t}-c_{2}*\lambda*e^{-\lambda*t}[/mm]
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:18 Do 21.01.2010 | | Autor: | andi7987 |
Wenn ich jetzt:
x(0) = 0,75
x'(0) = 0
das mache!
Muss ich dann für lambda das errechnete 2,55 auch einsetzen?
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Hallo andi7987,
> Wenn ich jetzt:
>
> x(0) = 0,75
> x'(0) = 0
>
> das mache!
>
> Muss ich dann für lambda das errechnete 2,55 auch
> einsetzen?
>
Zunächst mal ja.
Wenn Du t=0 einsetzt, dann ist [mm]\lambda*0=0[/mm].
Das hast Du ja schon festgestellt.
Aus der zweiten Gleichung kannst Du dann das [mm]\lambda[/mm] ausklammern,
so daß dieses [mm]\lambda[/mm] für die weitere Berechnung keine Rolle spielt.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:09 Do 21.01.2010 | | Autor: | andi7987 |
Bei dem Beispiel steh ich total auf der Leitung!
Komm immer auf irgendein Ergebnis, trotz eurer super Hilfe! :-(
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Hallo andi7987,
> Bei dem Beispiel steh ich total auf der Leitung!
>
> Komm immer auf irgendein Ergebnis, trotz eurer super Hilfe!
> :-(
Dann poste doch dieses "irgendeine" Ergebnis.
Es ist doch folgendes Gleichungssystem zu lösen:
[mm]x\left(0\right)=c_{1}+c_{2}[/mm]
[mm]x'\left(0\right)=c_{1}-c_{2}[/mm]
Und jetzt bist Du dran.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:00 Do 21.01.2010 | | Autor: | andi7987 |
Super danke!
Dann war ich vorher eigentlich eh auf dem richtigen Weg ! Ich mein ganz am Anfang, hatte nur irgendwo ein Vorzeichenfehler!
Also zB
yh = c1 * [mm] e^{2,55 * x} [/mm] + c2 * [mm] e^{-2,55 * x}
[/mm]
y(0) = 0,75
Lösung: c1 = 0,75 - c2
y'h = [mm] \lambda [/mm] * c1 * [mm] e^{\lambda * x} [/mm] - [mm] \lambda [/mm] * c2 * [mm] e^{\lambda * x}
[/mm]
y'(0) = 0
Lösung: für c1 bereits von oben eingestzt: 2,55 * (0,75 - c2) - 2,55*c2 = 0
1,9125 - 2,55 c2 - 2,55 c2 = 0
Lösung: c2 = 0,375
Daher auch c1 = 0,375
yh = 0,375 * [mm] e^{2,55 * t} [/mm] + 0,375 * [mm] e^{-2,55 * t}
[/mm]
1,5 = 0,375 * [mm] e^{2,55 * t} [/mm] + 0,375 * [mm] e^{-2,55 * t}
[/mm]
4 = [mm] e^{2,55 * t} [/mm] + [mm] e^{-2,55 * t}
[/mm]
So was mach ich jetzt, damit ich die Zeit ausrechnen kann?
Und noch was: Muss ich bei einem +- ergebnis für [mm] \lambda [/mm] dieses dann auch in die homogene Lösung so eintragen, wie bei 2,55?
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Hallo andi7987,
> Super danke!
>
> Dann war ich vorher eigentlich eh auf dem richtigen Weg !
> Ich mein ganz am Anfang, hatte nur irgendwo ein
> Vorzeichenfehler!
>
> Also zB
>
> yh = c1 * [mm]e^{2,55 * x}[/mm] + c2 * [mm]e^{-2,55 * x}[/mm]
>
> y(0) = 0,75
>
> Lösung: c1 = 0,75 - c2
>
> y'h = [mm]\lambda[/mm] * c1 * [mm]e^{\lambda * x}[/mm] - [mm]\lambda[/mm] * c2 *
> [mm]e^{\lambda * x}[/mm]
>
> y'(0) = 0
>
> Lösung: für c1 bereits von oben eingestzt: 2,55 * (0,75 -
> c2) - 2,55*c2 = 0
>
> 1,9125 - 2,55 c2 - 2,55 c2 = 0
>
> Lösung: c2 = 0,375
>
> Daher auch c1 = 0,375
>
> yh = 0,375 * [mm]e^{2,55 * t}[/mm] + 0,375 * [mm]e^{-2,55 * t}[/mm]
Stimmt. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> 1,5 = 0,375 * [mm]e^{2,55 * t}[/mm] + 0,375 * [mm]e^{-2,55 * t}[/mm]
>
> 4 = [mm]e^{2,55 * t}[/mm] + [mm]e^{-2,55 * t}[/mm]
>
> So was mach ich jetzt, damit ich die Zeit ausrechnen kann?
Substituiere zunächst [mm]z=e^{2.55*t}[/mm]
Dann erhältst Du, nach etwas Umformen,
eine quadratische Gleichung.
>
> Und noch was: Muss ich bei einem +- ergebnis für [mm]\lambda[/mm]
> dieses dann auch in die homogene Lösung so eintragen, wie
> bei 2,55?
Ja.
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:36 Do 21.01.2010 | | Autor: | andi7987 |
Super, vielen Dank!!
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