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| Aufgabe | | Sei [mm] S_1=\{R^2\}x\{0\} [/mm] die x-y-Ebene, [mm] S_2=S^1xR [/mm] die Zylinderfläche. Die Abbildung [mm] f:S_1 \to S_2 [/mm] mit f(x,y,0)=(cos(x),sin(x),y) ist eine lokale Isometrie. |
Hallo!
Wir hatten in der Vorlesung die Definition einer lokalen Isometrie, welche kurz gesagt meint, dass man prüfen muss, ob gilt:
[mm] (d_p [/mm] f(X), [mm] d_p [/mm] f(Y))=(X,Y) mit X, Y [mm] \in T_pS_1
[/mm]
Ich habe damit noch meine Probleme, denn mit dem Differential komme ich nicht klar.
Die Aufgabe ist eigentlich nur ein Beispiel aus der Vorlesung, könnte mir das jemand erklären, damit ich das auf die anderen Sachen anwenden kann?
Das wäre super!!
Liebe Grüße, Lily
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:45 Mi 08.07.2015 | | Autor: | huddel |
Hallo Lily,
Vorweg die Frage: betrifft das die Vorlesung elementare Differentialgeometrie oder Differentialgeometrie? Nur damit ich weiß, welchen formellen Apparat wir hier auffahren müssen/können.
Ich halte mich nun erstmal an die Differentialgeometrie und wenn du kein Wort verstehst, gehen wir das ganze noch einmal stück für stück durch und brechen das auf die elementare Diffgeo runter.
zuerst einmal solltest du sagen, was $(X,Y)$ für $X,Y [mm] \in T_p S_1$ [/mm] genau ist, weil so könnte man es als karthesisches Produkt interpretieren werden und damit würde die Definition nicht viel aussagen (warum?).
Also gehe ich mal davon aus, dass du von einer riemanschen Metrik sprichst (wenn dir der Begriff nichts sagt: die erste Fundamentalform ist das Standardbeispiel für eine riemansche Metrik).
Ich denke mal die Definition einer Manigfaltigkeit und deren Tangentialraum ist ein geläufig. Das heißt wir haben einen Raum $X$ mit Punkten, unsere Manigfaltigkeit, und wir haben den dazugehörigen Tangentialraum $TX$, der zu jedem Punkt $P [mm] \in [/mm] X$ auf der Manigfaltigkeit einen Vektorraum $T_pX [mm] \subset [/mm] TX$ liefert.
nun gehen wir einen Schritt zurück und erinnern uns an Ana 2 und differenzierbare Funktionen in mehreren Veränderlichen. damals wurde ebenfalls ein Differential eingeführt und zwa, salop gesagt, als die Ableitung der einzenen Komponenten in alle möglichen Richtungen (alle Veränderlichen). Hier funktioniert die Definition nun etwas anders. da der Begriff der "Richtungsableitung" fehlt gehen wir nun den Weg über die parametrisierte Wege:
Sei $M,N$ zwei Manigfaltigkeiten, $TM, TN$ die dazugehörigen Tangentialräume, $p [mm] \in [/mm] M$, $X [mm] \in [/mm] T_pM$ ein Tangentialvektor und [mm] $\gamma \colon (-\varepsilon,\varepsilon) \to [/mm] X$ ein Weg, s.d. [mm] $\gamma(0) [/mm] =p$ und [mm] $\dot \gamma(0)=X$, [/mm] sowie [mm] $f\colon [/mm] M [mm] \to [/mm] N$ eine glatte Abbildung (im Sinne der Karten, also in Kartendarstellung glatt) ist.
Dann ist [mm] $f\circ\gamma$ [/mm] ein Weg in $N$.
Dann wird das Differential von $f$ am Punkt $p$ angewendet auf den Vektor $X$ definiert durch $d_pf(X) := [mm] \frac{d}{dt}|_{t=0}f(\gamma(t))$
[/mm]
Damit liegt $d_pf(X) [mm] \in T_{f(p)}N$.
[/mm]
Zeige wohldefiniertheit und unabhängigkeit von der Wahl von [mm] $\gamma$ [/mm] etc. (das überspringen wir jetzt mal). der wichtige Punkt ist nun, dass der [mm] $\mathbb{R}^n$ [/mm] ebenfalls als Manigfaltigkeit betrachtet werden kann und damit sämtliche Kartenabbildungen in diesem Sinne differenzierbar sind.
Seien nun [mm] $\phi, \psi$ [/mm] Karten von $M$ und $N$, dann ist [mm] $\tilde [/mm] f = [mm] \psi^{-1}\circ [/mm] f [mm] \circ \phi \colon \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^n$ [/mm] und das differential von diesem bildet eine Jakobimatrix. das heißt unser algemeines Differential hat eine lokale Darstellung als Jakobimatrix ist linear und man kann noch dazu zeigen, dass die Kettenregel gilt. Mit anderen Worten unser Differential macht im grunde nichts anderes als das, was wir eh schon kennen, nur jetzt halt zwischen Tangentialräumen und nicht mehr zwischen den reelen Räumen.
Um ein tieferes Verständnis zu bekommen solltest du dir die Definition der durch die Karte definierten Basisvektoren vom $TM$, [mm] $\partial_i\phi$ [/mm] noch einmal anschauen und dasa ganze spiel mal damit durchspielen und gucken, was mit diesen passiert.
Um das ganze auf deine Aufgabe an zu wenden:
Such dir Karten von [mm] $S_1$ [/mm] und [mm] $S_2$, [/mm] bilde das oben gennnte [mm] $\tilde [/mm] f$ und damit die Jakobimatrix, bilde die erste Fundamentalform, setz den Kram ineinander ein und guck, was am Ende bei raus kommt.
Wenn ich irgendwo zu schnell war, oder etwas unklar ist bitte Rückmeldung geben :)
Ansonsten hoffe ich, dass ich helfen konnte.
LG
Marlon
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Hallo!
Vielen Dank erstmal für deine Mühe! 
Leider verstehe ich wirklich kaum was, was (hoffentlich) daran liegt, dass ich die Vorlesung Elementare Differentialgeometrie besuche... und Mannigfaltigkeiten kenne ich auch nicht :-(
Könntest du mir trotzdem weiterhelfen?
Das wäre prima!
Grüßle, Lily
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:20 Do 16.07.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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