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| Aufgabe | Die Exponentialfunktion wird durch folgende Reihe festgelegt:
exp(x):= [mm] 1+x/1!+x^2/2!+x^3/3!..., [/mm] wobei n!:= 1*2*3...n.
Die Exponentialfunktion hat die wichtige Eigenschaft
[mm] exp´(X)=0+1/1!+2x/2!+3x^2/3!...=1+x/1!+x^2/2!+...=exp(x)
[/mm]
Für x=1 ist die Eulersche Zahl e durch e:=exp(1)=2,7183 definiert.
Bestimmen sie das Taylor-Polynom vom Grad 3 der Funktion f(x)=x*exp(x)
im Entwicklungspunkt x0=1
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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich habe mit der Kompletten Aufgabenstellung ein Problem und würde gerne wissen, wie ich mit dem Lösungsweg anfange. Ich würde mich sehr über eine Antwort bzw Hilfe zur Selbsthilfe freuen! Dankeschön!
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> Die Exponentialfunktion wird durch folgende Reihe
> festgelegt:
> exp(x):= [mm]1+x/1!+x^2/2!+x^3/3!...,[/mm] wobei n!:= 1*2*3...n.
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> Die Exponentialfunktion hat die wichtige Eigenschaft
> [mm]exp´(X)=0+1/1!+2x/2!+3x^2/3!...=1+x/1!+x^2/2!+...=exp(x)[/mm]
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> Für x=1 ist die Eulersche Zahl e durch e:=exp(1)=2,7183
> definiert.
> Bestimmen sie das Taylor-Polynom vom Grad 3 der Funktion
> f(x)=x*exp(x)
> im Entwicklungspunkt x0=1
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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> Ich habe mit der Kompletten Aufgabenstellung ein Problem
> und würde gerne wissen, wie ich mit dem Lösungsweg anfange.
Versuche durch geeignete Umformung und unter Verwendung der Potenzreihenentwicklung von [mm] $\mathrm{exp}(x)$, [/mm] eine Potenzreihenentwicklung von $f(x)$ der Form [mm] $\sum_{k=0}^\infty a_k (x-1)^k$ [/mm] zu finden. Etwa, indem Du so beginnst:
[mm]\begin{array}{lcl}
f(x)&=&x\mathrm{exp}(x)\\
&=&\big((x-1)+1\big)\cdot \mathrm{exp}\big((x-1)+1)\big)\\
&=&\big((x-1)+1\big)\cdot \mathrm{exp}(1)\cdot\mathrm{exp}(x-1)\\
&=&\mathrm{e}(x-1)\exp(x-1)+\matrm{e}\exp(x-1)\\
&=&\sum_{k=0}^\infty \frac{\mathrm{e}}{k!}(x-1)^{k+1}+\sum_{k=0}^\infty \frac{\mathrm{e}}{k!}(x-1)^k\\
&=&\sum_{k=0}^\infty a_k (x-1)^k
\end{array}[/mm]
Wobei Du Dir die [mm] $a_k$ [/mm] aus den beiden Teilreihen der zweitletzten Zeile dieser Umformungssequenz zusammenbasteln musst. Das Taylorpolynom $n$-ten Grades von $f(x)$ bei Entwicklung um [mm] $x_0=1$ [/mm] ist dann gerade die Partialsumme [mm] $\sum_{k=0}^n a_k (x-1)^k$
[/mm]
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