Diffeomorphismus, Ableitung < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:30 Sa 21.05.2011 | | Autor: | UNR8D |
| Aufgabe | Sei f: [mm] \IR^2 [/mm] -> [mm] \IR^2, (x,y)\mapsto (x+y^2,ye^x)
[/mm]
(i) Bestimmen Sie alle Punkte [mm] (x_0,y_0) \in \IR^2 [/mm] derart, dass f in einer Umgebung von [mm] (x_0,y_0) [/mm] ein Diffeomorphismus ist.
(ii) Bestimmen Sie zu den Punkten [mm] (x_0,y_0) [/mm] aus (i) die Ableitung von [mm] f^{-1} [/mm] im Punkt [mm] f(x_0,y_0) [/mm] |
Hi,
ich habe noch n bisschen Probleme mit Stetigkeit / Differenzierbarkeit mehrdimensionaler Funktionen und hänge etwas bei dieser Aufgabe.
Ein Diffeomorphismus ist ja ne stetig differenzierbare Funktion die eine stetig differenzierbare Umkehrfunktion hat.
Leite ich f ab erhalte ich:
f'(x,y)= [mm] \pmat{ 1 & 2y \\ e^xy & e^x }
[/mm]
f ist ja offensichtlich differenzierbar, aber wie zeige ich nun, dass f' stetig ist?
Genügt es zu zeigen, dass die einzelnen Komponenten dieser Matrix stetig sind?.
Als nächstes würde ich mir die Determinante anschauen um die Invertierbarkeit zu überprüfen.
det [mm] f'(x,y)=e^x-2*e^x*y^2=e^x(1-2y^2).
[/mm]
Damit wäre f'(x,y) für [mm] y\neq \sqrt{(1/2)} [/mm] invertierbar.
Für [mm] (f'(x,y))^{-1} [/mm] ergibt sich [mm] \pmat{\frac{1}{1-2y^2} & -\frac{2y}{e^x(1-2y^2)} \\ -\frac{y}{1-2y^2} & \frac{1}{e^x(1-2y^2)} }
[/mm]
Stimmt das soweit?
Wie mache in an dieser Stelle jetzt weiter?
Ich wäre sehr dankbar für etwas Hilfe, weil mir hier wirklich grad der Durchblick fehlt...
lg UNR8D
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:28 So 22.05.2011 | | Autor: | fred97 |
> Sei f: [mm]\IR^2[/mm] -> [mm]\IR^2, (x,y)\mapsto (x+y^2,ye^x)[/mm]
> (i)
> Bestimmen Sie alle Punkte [mm](x_0,y_0) \in \IR^2[/mm] derart, dass
> f in einer Umgebung von [mm](x_0,y_0)[/mm] ein Diffeomorphismus
> ist.
> (ii) Bestimmen Sie zu den Punkten [mm](x_0,y_0)[/mm] aus (i) die
> Ableitung von [mm]f^{-1}[/mm] im Punkt [mm]f(x_0,y_0)[/mm]
> Hi,
> ich habe noch n bisschen Probleme mit Stetigkeit /
> Differenzierbarkeit mehrdimensionaler Funktionen und hänge
> etwas bei dieser Aufgabe.
>
> Ein Diffeomorphismus ist ja ne stetig differenzierbare
> Funktion die eine stetig differenzierbare Umkehrfunktion
> hat.
>
> Leite ich f ab erhalte ich:
> f'(x,y)= [mm]\pmat{ 1 & 2y \\ e^xy & e^x }[/mm]
>
> f ist ja offensichtlich differenzierbar, aber wie zeige ich
> nun, dass f' stetig ist?
> Genügt es zu zeigen, dass die einzelnen Komponenten dieser
> Matrix stetig sind?.
Ja
>
> Als nächstes würde ich mir die Determinante anschauen um
> die Invertierbarkeit zu überprüfen.
> det [mm]f'(x,y)=e^x-2*e^x*y^2=e^x(1-2y^2).[/mm]
> Damit wäre f'(x,y) für [mm]y\neq \sqrt{(1/2)}[/mm] invertierbar.
Nicht ganz:
[mm]y\neq \pm \sqrt{(1/2)}[/mm]
>
> Für [mm](f'(x,y))^{-1}[/mm] ergibt sich [mm]\pmat{\frac{1}{1-2y^2} & -\frac{2y}{e^x(1-2y^2)} \\ -\frac{y}{1-2y^2} & \frac{1}{e^x(1-2y^2)} }[/mm]
>
> Stimmt das soweit?
Ja
> Wie mache in an dieser Stelle jetzt weiter?
Du bist fertig !
FRED
> Ich wäre sehr dankbar für etwas Hilfe, weil mir hier
> wirklich grad der Durchblick fehlt...
>
> lg UNR8D
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:12 So 22.05.2011 | | Autor: | UNR8D |
Hi,
da habe ich mich gestern wohl übertrieben in diese Aufgabe hineingesteigert. Habe irgendwie sonst was drin gesehen, dabei war sie ja echt recht handlich :)
Danke für die Antwort!
lg unr8d
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