Diff'barkeit f(x) in x0 < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:08 Do 08.01.2009 | | Autor: | tedd |
| Aufgabe | Ist die folgende Funktion in [mm] f(x_0)=0 [/mm] diff'bar?
[mm] f(x)=exp(\bruch{-1}{x^2}) [/mm] |
Also zunächst habe ich geprüft ob die Defintionslücke in [mm] x_0=0 [/mm] stetig ergänzbar ist:
[mm] \limes_{x\rightarrow 0}exp(\bruch{-1}{x^2})=exp(-\infty)=0 [/mm] (durch [mm] x^2 [/mm] haben links- sowie rechtsseitiger Grenzwert gleiche Vorzeichen)
Also ist f(x) in [mm] x_0=0 [/mm] stetig ergänzbar.
Jetzt würde ich eigentlich mit dem Differentialquotienten weitermachen:
[mm] \limes_{\Delta x\rightarrow 0}\bruch{exp(\bruch{-1}{(x_0+\Delta x)^2})-exp(\bruch{-1}{x_0})}{\Delta x}
[/mm]
[mm] =\limes_{\Delta x\rightarrow 0}\bruch{exp(\bruch{-1}{(\Delta x)^2})-0}{\Delta x}
[/mm]
und jetzt habe ich doch eigentlich einen unbestimmten Ausdruck [mm] \bruch{0}{0} [/mm] oder?
Danke und Gruß
tedd
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:23 Do 08.01.2009 | | Autor: | fred97 |
Ja
Wie machst Du wohl weiter ??
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:32 Do 08.01.2009 | | Autor: | tedd |
Normalerweise würde ich L'Hospital/Bernoulli anwenden aber wie soll ich den Zähler ableiten, wenn ich nicht weis ob dieser in [mm] x_0=0 [/mm] diff'bar ist?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:34 Do 08.01.2009 | | Autor: | fred97 |
Du brauchst doch nur die Ableitung außerhalb des Nullpunktes !!!!!!
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:16 Do 08.01.2009 | | Autor: | tedd |
uhh klar....
Also
[mm] \limes_{\Delta x\rightarrow 0}\bruch{exp(\bruch{-1}{\Delta x^2})}{\Delta x}\underbrace{=}_{\bruch{0}{0}}\limes_{\Delta x\rightarrow 0}\bruch{exp(\bruch{-1}{\Delta x^2})*\bruch{2*\Delta x}{\Delta x^4}}{1}=\limes_{\Delta x\rightarrow 0}exp(\bruch{-1}{\Delta x^2})*\bruch{2}{\Delta x^3}=0*\infty
[/mm]
Jetzt habe ich auch schon probiert den durch den kehrwert zu teilen und dann nochmal L'Hospital/Bernoulli anzuwenden aber da komme ich denke ich zu keinem Ergebnis...
Also:
[mm] \limes_{\Delta x\rightarrow 0}\bruch{exp(\bruch{-1}{\Delta x^2})}{\bruch{\Delta x^3}{2}} [/mm] bzw
[mm] \limes_{\Delta x\rightarrow 0}\bruch{\bruch{\Delta x^3}{2}}{\bruch{1}{exp(\bruch{-1}{\Delta x^2})}} [/mm] ergibt wieder unbestimmte Ausdrücke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:40 Do 08.01.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
was weisst du denn über [mm] x^n*e^{-x^2} [/mm] n fest, x gegen [mm] \infty?
[/mm]
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:59 Do 08.01.2009 | | Autor: | tedd |
> Hallo
Hi!
> was weisst du denn über [mm]x^n*e^{-x^2}[/mm] n fest, x gegen
> [mm]\infty?[/mm]
[mm] \underbrace{x^n}_{\infty}*\underbrace{e^{-x^2}}_{0} [/mm] ?
Was wieder ein unbestimmter Ausdruck wäre... hmm
> Gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:23 Do 08.01.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
a) man weiss und darf verwenden: die e-fkt steigt stärker als jede Potenz von x.
b) man kennt die Taylorreihe von [mm] e^x
[/mm]
c) man wendet L'Hopital auf [mm] x^n/e^x [/mm] oder [mm] x^n/e^{x^2} [/mm] an.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:50 Do 08.01.2009 | | Autor: | tedd |
Wenn ich L'Hospital/Bernoulli n-mal auf
[mm] \bruch{x^n}{e^x} [/mm] anwende kommt 0 raus:
Zähler wird 1 und Nenner bleibt [mm] e^x
[/mm]
Aber wie hilft mir das jetzt bei meiner Aufgabe weiter?
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> Wenn ich L'Hospital/Bernoulli n-mal auf
>
> [mm]\bruch{x^n}{e^x}[/mm] anwende kommt 0 raus:
> Zähler wird 1 und Nenner bleibt [mm]e^x[/mm]
Hallo,
der Zähler wird zwar nicht 1 (leite [mm] x^5 [/mm] fünfmal ab), aber die 0 stimmt trotzdem.
Gruß v. Angela
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:11 Do 08.01.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
statt x gegen 0 in [mm] e^{-1/x^2}/x [/mm] kannst du z gegen unendlich für z=1/x
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:19 Do 08.01.2009 | | Autor: | tedd |
Au backe!
Also:
[mm] \limes_{\Delta x\rightarrow 0}\bruch{exp(\bruch{-1}{\Delta x^2})}{\Delta x^3}
[/mm]
[mm] z=\bruch{1}{\Delta x}
[/mm]
Wenn x gegen 0 geht, geht z gegen unendlich.
[mm] \limes_{z \rightarrow \infty}exp(-z^2)*z^3
[/mm]
[mm] =\limes_{z \rightarrow \infty}\bruch{z^3}{exp(z^2)}
[/mm]
[mm] =\limes_{z \rightarrow \infty}\bruch{6}{2*exp(z^2)+4*z^2*exp(z^2)}=0 [/mm] ...
Ich hoffe so stimmt es jetzt
Danke vielmals für die Hilfe an alle! 
Besten Gruß,
tedd
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:25 Do 08.01.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo tedd!
Das Ergebnis am Ende stimmt. Aber ich kann hier nicht nachvollziehen, wie Du jeweils in Zähler und Nenner ableitest.
Nach zweimaliger Behandlung durch Herrn de l'Hospital erhalte ich:
$$... \ = \ [mm] \limes_{z\rightarrow\infty}\bruch{3}{4z*\exp\left(z^2\right)} [/mm] \ = \ 0$$
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:08 So 11.01.2009 | | Autor: | tedd |
stimmt, die Ableitung war falsch.
Danke für die Hilfe nochmal und besten Gruß,
tedd
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