Diff'barkeit < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:31 Di 14.12.2010 | | Autor: | stffn |
| Aufgabe | Betrachte die Funktion f: [mm] \IR_{+} [/mm] \ {0} [mm] \to \IR [/mm] mit [mm] f(x)=\wurzel{x}.
[/mm]
Zeige mit Hilfe der Definition, dass [mm] f'(x)=\bruch{1}{2\wurzel{x}} [/mm] für alle x [mm] \in \IR_{+} [/mm] \ {0} gilt. |
Hallo, ich hätte da noch eine Frage.
Bei solchen Aufgaben, wo man die Diffenrenzierbarkeit zeigen soll, habe ich bisher immer an den kritischen Stellen die folgende Gleichung verwendet:
[mm] \limes_{x(x_{0}) \rightarrow x_{0}} \bruch{f(x)-f(x_{0})}{x}.
[/mm]
Aber ich kann dass ja hier nur von der einen Seite machen (von rechts).
Und selbst dabei komme ich auf kein Ergebnis, denn da würde für [mm] x_{0}=0
[/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow0}\bruch{\wurzel{x}}{x} [/mm] stehen.
Wie muss ich hier rangehen?
Danke schonmal für die Hilfe!
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Hallo,
> Betrachte die Funktion f: [mm]\IR_{+}[/mm] \ {0} [mm]\to \IR[/mm] mit
> [mm]f(x)=\wurzel{x}.[/mm]
> Zeige mit Hilfe der Definition, dass
> [mm]f'(x)=\bruch{1}{2\wurzel{x}}[/mm] für alle x [mm]\in \IR_{+}[/mm] \ {0}
> gilt.
> Hallo, ich hätte da noch eine Frage.
>
> Bei solchen Aufgaben, wo man die Diffenrenzierbarkeit
> zeigen soll, habe ich bisher immer an den kritischen
> Stellen die folgende Gleichung verwendet:
>
> [mm]\limes_{x(x_{0}) \rightarrow x_{0}} \bruch{f(x)-f(x_{0})}{x}.[/mm]
>
> Aber ich kann dass ja hier nur von der einen Seite machen
> (von rechts).
> Und selbst dabei komme ich auf kein Ergebnis, denn da
> würde für [mm]x_{0}=0[/mm]
> [mm]\limes_{x\rightarrow0}\bruch{\wurzel{x}}{x}[/mm] stehen.
Jo, rechtssetig ist die Steigung in 0 halt [mm]\infty[/mm]
Du sollst es auch nicht für die "kritische" Stelle [mm]x_0=0[/mm] ausrechnen, sondern zeigen, dass für alle [mm]x_0>0[/mm] gilt:
[mm]f'(x_0)=\frac{1}{2\sqrt{x_0}}[/mm]
Stelle dazu den Differenzenquotienten auf und erweitere so, dass im Zähler die 3. binomische Formel entsteht ...
>
> Wie muss ich hier rangehen?
> Danke schonmal für die Hilfe!
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:18 Di 14.12.2010 | | Autor: | stffn |
Ok, ich hoffe ich habe das mit dem Differenzialquotienten richtig verstanden
[mm] \bruch{\bruch{1}{2\wurzel{x}}-\bruch{1}{2\wurzel{x_{0}}}}{x-x_{0}}=\bruch{(\bruch{1}{2\wurzel{x}}-\bruch{1}{2\wurzel{x_{0}}})(\bruch{1}{2\wurzel{x}}+\bruch{1}{2\wurzel{x_{0}}})}{(x-x_{0})(\bruch{1}{2\wurzel{x}}+\bruch{1}{2\wurzel{x_{0}}})}=\bruch{\bruch{1}{4x}-\bruch{1}{4x_{0}}}{(x-x_{0})(\bruch{1}{2\wurzel{x}}+\bruch{1}{2\wurzel{x_{0}}})}
[/mm]
... allein schon weil das Eintippen ewig gedauert hat...
Aber wie geht weiter?
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Hallo steffn,
> Ok, ich hoffe ich habe das mit dem Differenzialquotienten
> richtig verstanden
>
> [mm]\bruch{\bruch{1}{2\wurzel{x}}-\bruch{1}{2\wurzel{x_{0}}}}{x-x_{0}}=\bruch{(\bruch{1}{2\wurzel{x}}-\bruch{1}{2\wurzel{x_{0}}})(\bruch{1}{2\wurzel{x}}+\bruch{1}{2\wurzel{x_{0}}})}{(x-x_{0})(\bruch{1}{2\wurzel{x}}+\bruch{1}{2\wurzel{x_{0}}})}=\bruch{\bruch{1}{4x}-\bruch{1}{4x_{0}}}{(x-x_{0})(\bruch{1}{2\wurzel{x}}+\bruch{1}{2\wurzel{x_{0}}})}[/mm]
Ersetze hier [mm]x-x_{0}[/mm] durch die 3- binomische Formel.
Zu Berechnen ist aber:
[mm]\bruch{\wurzel{x}-\wurzel{x_{0}}}{x-x_{0}}[/mm]
>
> ... allein schon weil das Eintippen ewig gedauert hat...
> Aber wie geht weiter?
Bilde den Grenzwert für [mm]x \to x_{0} [/mm].
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:27 Mi 15.12.2010 | | Autor: | stffn |
Sorry aber ich weiß nicht wie es weiter geht. Hab jetzt 3 Seiten voll und bin immernoch nicht zum Ergebnis gekommen (ich muss doch auf [mm] \bruch{1}{2\wurzel{x_{0}}} [/mm] kommen?!).
War es denn bis hierhin
[mm] \bruch{\bruch{1}{4x}-\bruch{1}{4x_{0}}}{(x-x_{0})(\bruch{1}{2\wurzel{x}}+\bruch{1}{2\wurzel{x_{0}}})} [/mm]
überhaupt richtig oder muss ich jetzt doch von Anfang an nur den Nenner zur 3. bin.- Formel ergänzen?
Vielleicht sehe ich auch nur den Wald vor lauter Bäumen nicht. Wäre sehr nett wenn ich noch ein Tip bekommen könnte.
Ganz großes Dankeschön schonmal!
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Hallo,
was machst du denn da ? Du sollst die Ableitung bestimmen mittels der Definition und nicht die Ableitung in die Definition einsetzen!
Zu bestimmen ist also:
[mm] \limes_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=\limes_{x\to a}\frac{\sqrt{x}-\sqrt{a}}{x-a}
[/mm]
jetzt erweitere mit [mm] \frac{\sqrt{x}+\sqrt{a}}{\sqrt{x}+\sqrt{a}} [/mm] und bilde den Grenzwert.
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:23 Mi 15.12.2010 | | Autor: | stffn |
Man man man.........
war ja jetzt doch nur ein 2-Zeiler.
Also, was die Definition der Ableitung mit dem Grenzwert des Differenzenquotienten zu tun hat habe ich glaube ich immernoch nicht richtig kapiert.
Ist [mm] [x,x_{0}] [/mm] (bei MontBlanc [x, a]) ein beliebiges Intervall, dass ich nehme, um "zu gucken", wie sich die Steigung der Tangente in dem dem Intervall ändert und sie somit allgemein beschreiben zu können?
Warum nicht einfach normal ableiten?
Und gibt es einen anschaulichen Grund, warum man mit dem Grenzwert des Differenzenquotienten die Ableitung rausbekommt?
Danke für die Hilfe, schöne Grüße!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:28 Mi 15.12.2010 | | Autor: | fred97 |
> Man man man.........
> war ja jetzt doch nur ein 2-Zeiler.
>
> Also, was die Definition der Ableitung mit dem Grenzwert
> des Differenzenquotienten zu tun hat habe ich glaube ich
> immernoch nicht richtig kapiert.
> Ist [mm][x,x_{0}][/mm] (bei MontBlanc [x, a]) ein beliebiges
> Intervall, dass ich nehme, um "zu gucken", wie sich die
> Steigung der Tangente in dem dem Intervall ändert und sie
> somit allgemein beschreiben zu können?
> Warum nicht einfach normal ableiten?
> Und gibt es einen anschaulichen Grund, warum man mit dem
> Grenzwert des Differenzenquotienten die Ableitung
> rausbekommt?
Schau Dir das mal an:
http://www.iag.uni-hannover.de/~hulek/Skripten/AnaA/Kapitel5.pdf
FRED
>
> Danke für die Hilfe, schöne Grüße!
>
>
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Hallo,
> Man man man.........
> war ja jetzt doch nur ein 2-Zeiler.
das ist oft so, man muss nur den "Trick sehen".
> Also, was die Definition der Ableitung mit dem Grenzwert
> des Differenzenquotienten zu tun hat habe ich glaube ich
> immernoch nicht richtig kapiert.
Nehmen wir als Beispiel erstmal eine Gerade. Die Steigung einer Geraden ist konstant. Möchtest du diese Steigung bestimmen, teilst du die Differenz der Funktionswerte durch die Differenz der zugehörigen x-Werte, also
[mm] \frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}.
[/mm]
Das funktioniert wunderbar, da die Steigung konstant ist (s.o.)
> Ist [mm][x,x_{0}][/mm] (bei MontBlanc [x, a]) ein beliebiges
> Intervall, dass ich nehme, um "zu gucken", wie sich die
> Steigung der Tangente in dem dem Intervall ändert und sie
> somit allgemein beschreiben zu können?
Das stimmt doch nicht ganz!
Nehmen wir nun als beispiel die Funktion [mm] f(x)=x^{2}. [/mm] Die Steigung ist nicht konstant, genau genommen entspricht sie dem doppelten des zugehörigen x-Wertes. Du kannst also keine Steigung in einem Intervall bestimmen, sie ändert sich von Punkt zu Punkt (wenn auch nur minimal, da die Ableitung linear ist). Deswegen macht es Sinn die oben gegebene Definition der Steigung anzupassen, dass man Steigungen in einem Punkt bestimmen kann. Dafür machst du sowohl den Abstand zwischen den Funktionswerten, als auch den Abstand zwischen den x-Werten unendlich klein, indem du x immer näher an die Stelle an der die Steigung zu bestimmen ist heranrücken lässt. Damit erhältst du den so genannten Differentialquotienten:
[mm] \limes_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}
[/mm]
> Warum nicht einfach normal ableiten?
"Normal ableiten" bedeutet für dich eine der Ableitungsregelen anwenden, bsp. die produktregel... Aber woher kommt die denn ?
Sei $ h(x)=f(x)*g(x) $, wobei f und g differenzierbare Funktionen sind, dann ist der Differentialquotient an der Stelle a
[mm] \limes_{x\to a}\frac{h(x)-h(a)}{x-a}=\limes_{x\to a}\frac{f(x)*g(x)-f(a)*g(a)}{x-a}
[/mm]
Addieren wir im Zähler nun $ f(x)*g(a) $ und ziehen es wieder ab, haben wir
[mm] \limes_{x\to a}\frac{f(x)*g(x)+f(x)*g(a)-f(x)*g(a)-f(a)*g(a)}{x-a}=\limes_{x\to a}\frac{f(x)*(g(x)-g(a))-g(a)(f(x)-f(a))}{x-a}=\limes_{x\to a}f(x)\frac{g(x)-g(a)}{x-a}+\limes_{x\to a}g(a)\frac{f(x)-f(a)}{x-a}
[/mm]
Beide Grenzwerte existieren, daher kann man sie auseinanderziehen. f(x) ist außerdem stetig, da f differenzierbar ist, außerdem ist g(a) nur eine konstante, wir haben also
[mm] \limes_{x\to a}f(x)*\limes_{x\to a}\frac{g(x)-g(a)}{x-a}+g(a)\limes_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=g'(a)*f(a)+f'(a)*g(a)
[/mm]
nach der Definition der Ableitung (Steigung in einem Punkt) an einer Stelle a.
So und jetzt sag mir, was du eigentlich machst, wenn du bsp. die Produktregel anwendest ? Es ist nichts anderes als ein Spezialfall der Definition.
> Und gibt es einen anschaulichen Grund, warum man mit dem
> Grenzwert des Differenzenquotienten die Ableitung
> rausbekommt?
Siehst du ja oben.
> Danke für die Hilfe, schöne Grüße!
>
>
>
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:14 Do 16.12.2010 | | Autor: | stffn |
Perfekt. Sehr sehr gut erklärt.
Man macht also das Intervall, das bei einer Geraden noch die allgemeine (da konstante) Steigung beschrieben hat (also durch Teilen der Differenzen der Funktionswerte und der zugehörigen x-Werte) mit Hilfe des limes unendlich klein, um quasi die Sekante, von der man (ohne dem limes) bei einer nicht-linearen Funktion die Steigung berechnen würde, zu einer Tangente, wodurch man die Steigung (irgendwie nicht 100% genau aber schon unendlich genau) allgemein beschreiben kann.
Sehr raffiniert.
Nochmals vielen Dank!!!
(vielleicht etwas unglücklich formuliert, aber wenn das jetzt komplett falsch von mir beschrieben ist, schäme ich mich. aber irgendwie läd das ganze auch ein bisschen zum philosophieren ein.)
Schöne Grüße und Danke euch beiden. Sehr große Hilfe!
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