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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:05 So 07.06.2009 | | Autor: | mb588 |
| Aufgabe | Gegeben ist die Gleichung
[mm] r(\phi)=\bruch{p}{1+\epsilon cos\phi}
[/mm]
in Polarkoordinaten.
Geben Sie die dazugehörige Gleichung in kartesische Koordinaten an. |
Hey. Also ich weiß das es sich im eine Ellipse handelt und ich weiß auch die Lösung,....nur wie man drauf kommt weiß cih nicht. Die Lösung ist:
[mm] y^{2}=2px-(1-\epsilon^{2})x^{2}
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:27 So 07.06.2009 | | Autor: | abakus |
> Gegeben ist die Gleichung
> [mm]r(\phi)=\bruch{p}{1+\epsilon cos\phi}[/mm]
> in
> Polarkoordinaten.
> Geben Sie die dazugehörige Gleichung in kartesische
> Koordinaten an.
> Hey. Also ich weiß das es sich im eine Ellipse handelt und
> ich weiß auch die Lösung,....nur wie man drauf kommt weiß
> cih nicht. Die Lösung ist:
> [mm]y^{2}=2px-(1-\epsilon^{2})x^{2}[/mm]
Hallo,
nur eine von vielen Möglichkeiten ist folgende:
Auf der Ellipse gibt es je einen Punkte mit minimalem und mit maximalem Abstand von ihrem Mittelpunkt.
Der Abstand [mm] r(\phi) [/mm] ist offensichtlich minimal für einen möglichst großen Nenner (also wenn [mm] \phi=0°) [/mm] und maximal für einen möglixchst kleinen Nenner (also wenn [mm] \phi=180°).
[/mm]
Damit hast du schonmal die Gewissheit, dass die zutreffenden Punkte auf der x-Achse liegen, und mit den PunktKoordinnaten lässt sich der Mittelpunkt und die Länge der einen Halbachse berechnen....
Ansonsten hast du natürlich zur Umwandlung auch das Gleichungssystem
[mm] x^2+y^2=r^2
[/mm]
[mm] y:x=tan(\phi)
[/mm]
Gruß Abakus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:50 So 07.06.2009 | | Autor: | mb588 |
Ja also ich da jetzt folgende zusammen hänge herausgefunden:
[mm] p=\bruch{b^{2}}{a} [/mm] und e (also abstand vom mittelpunkt zum brennpunkt) [mm] e=c\epsilon [/mm] . Soweit so gut....aber mir ist nicht ganz klar, wie ich da aus der Polarform den [mm] cos\phi [/mm] raus bekomme?! denn das ergebniss ist ja nur noch von x abhängig.
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Hallo Matthias,
vermutlich ist schon eine Umformung von der Polarform
in die cartesische Form gemeint, welche die gesamte
Kurve berücksichtigt und nicht nur einzelne Punkte
davon.
Wegen [mm] r^2=x^2+y^2 [/mm] empfiehlt es sich wohl, die
gegebene Keplergleichung einmal zu quadrieren:
[mm] $r^2=\bruch{p^2}{(1+\epsilon*cos(\phi))^2}$
[/mm]
Nun kann man [mm] r^2 [/mm] durch [mm] x^2+y^2 [/mm] ersetzen und
[mm] cos(\phi) [/mm] durch [mm] \bruch{x}{r}.
[/mm]
LG Al-Chwarizmi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:02 So 07.06.2009 | | Autor: | mb588 |
So hab das jetzt alles soweit wie möglich eingesetzt, aber es kommt nicht das richtig bei raus und da ist auch noch son blödes r mit drin. hab raus
[mm] y^{2}=p^{2}-x^{2}-\epsilon^{2}x^{2}-2\epsilon [/mm] xr
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> So hab das jetzt alles soweit wie möglich eingesetzt, aber
> es kommt nicht das richtig bei raus und da ist auch noch
> son blödes r mit drin.
Ja, ein bisschen blöd, aber es ist natürlich [mm] r=\wurzel{x^2+y^2}
[/mm]
Damit kommt man zu einer Gleichung nur noch mit
x und y und kann sich der Frage widmen, wie man
diese am besten distilliert, um sie in möglichst
klarer Form (und hoffentlich in der Form, wie die
Lösung angibt) darstellen zu können.
LG Al-Ch.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:47 So 07.06.2009 | | Autor: | mb588 |
Also wenn das alles in so fern richtig komm ich auf folgendes:
[mm] p^{2}=x^{2}+y^{2}+\epsilon^{2}x^{2}+2\epsilon x(x^{2}+y^{2})^{1/2}
[/mm]
[mm] p^{2}=((x^{2}+y^{2})^{1/2}+\epsilon x)^{2}
[/mm]
[mm] p=(x^{2}+y^{2})^{1/2}+\epsilon [/mm] x
[mm] p-\epsilon x=(x^{2}+y^{2})^{1/2}
[/mm]
[mm] p^{2}+\epsilon^{2} x^{2}-2p\epsilon x=x^{2}+y^{2}
[/mm]
das sieht zwar schon fast so aus...aber ist ja nicht das ergebniss! sind die umformungschritte korrekt? ich denke schon, aber da ist die umformung vllt ungünstig gewählt
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> Also wenn das alles in so fern richtig komm ich auf
> folgendes:
> [mm]p^{2}=x^{2}+y^{2}+\epsilon^{2}x^{2}+2\epsilon x(x^{2}+y^{2})^{1/2}[/mm]
>
> [mm]p^{2}=((x^{2}+y^{2})^{1/2}+\epsilon x)^{2}[/mm]
>
> [mm]p=(x^{2}+y^{2})^{1/2}+\epsilon[/mm] x
> [mm]p-\epsilon x=(x^{2}+y^{2})^{1/2}[/mm]
> [mm]p^{2}+\epsilon^{2} x^{2}-2p\epsilon x=x^{2}+y^{2}[/mm]
>
> das sieht zwar schon fast so aus...aber ist ja nicht das
> ergebniss! sind die umformungschritte korrekt? ich denke
> schon, aber da ist die umformung vllt ungünstig gewählt
Hallo Matthias,
ich bin auf das gleiche Ergebnis gekommen; man kann
es noch so schreiben:
$\ [mm] y^2=p^2-2p\epsilon x-(1-\epsilon^2)x^2$
[/mm]
und dies ist nun zwar fast, aber doch nicht genau das
Ergebnis, das du angegeben hattest.
Ich frage mich, ob z.B. die x-Koordinate gar nicht
vom gleichen Punkt aus gemessen werden soll
wie die Polarkoordinaten ?
-----> Klar, die Gleichung [mm] y^2=2px-(1-\epsilon^2)x^2
[/mm]
beschreibt doch eine Kurve, die durch den Ursprung des
x-y-Koordinatensystems geht. Die polar beschriebene
Kurve umläuft aber den Nullpunkt des Polarkoordinaten-
systems, das wir benutzt haben, so wie eben ein Planet
die Sonne umläuft !!
Um auf die "richtige" Gleichung zu kommen, wird
noch eine Parallelverschiebung in x-Richtung erfor-
derlich sein. Die Distanz der Verschiebung müsste
entweder [mm] $\bruch{p}{1+\epsilon}$ [/mm] oder [mm] $\bruch{p}{1-\epsilon}$ [/mm] sein.
Schau doch in deinen Unterlagen nochmals genau
nach, wie die Koordinatensysteme genau definiert
wurden - eventuell in einer Zeichnung !
LG Al
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:46 So 07.06.2009 | | Autor: | mb588 |
Ja hab leider kein bild Gefunden...aber der winkel [mm] \phi [/mm] das ist , wenn man vom Brennpunkt aus zu Ellipse eine gerade zeichnet. als ist der Ursprung nicht im Mittelpunkt, sonder im brennpunkt! und in wie fern mach ich da jetzt eine verschiebung?
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> Ja hab leider kein Bild gefunden...aber der Winkel [mm]\phi[/mm] ist
> der, den man erhält, wenn man vom Brennpunkt aus zur
> Ellipse eine Gerade zeichnet. Also ist der Ursprung nicht im
> Mittelpunkt, sondern im Brennpunkt !
Das ist mir klar: der Ursprung des Polarkoordinatensystems
liegt im einen der beiden Brennpunkte der Ellipse. Der Ursprung
des x-y-Koordinatensystems liegt aber offensichtlich nicht
dort (wenn man denn zur angegebenen Lösung kommen soll),
sondern in einem der beiden Hauptscheitelpunkte der Ellipse,
astronomisch gesprochen entweder im Perihel oder im Aphel.
Die Hauptachse der Ellipse liegt auf der [mm] 0-\pi-Achse [/mm] des Polar-
und auf der x-Achse des rechtwinkligen Systems.
Nun bleiben wohl noch 4 Möglichkeiten, wie man die Lage
und Orientierung des rechtwinkligen Systems in Bezug auf
das polare festlegen kann. Ich würde nun einmal eine dieser
Möglichkeiten ausprobieren oder mir z.B. klar machen, welche
Eigenschaften man herausfinden kann, wenn man die Achsen-
schnittpunkte der Ellipse bezüglich beider Systeme ins Auge
fasst.
Es kommt hier im Matheraum sehr oft vor, dass man erst
die etwas unvollständig gegebenen Aufgaben rekonstruieren
muss. Dies gibt dann auch oft mehr Arbeit als die eigentliche
Lösung der Aufgabe. Es kann aber auch spannend und lehr-
reich sein und gibt einem dann dasselbe gute Gefühl wie
einem Detektiv, wenn man die knifflige Aufgabe doch geknackt
hat ...
![[gutenacht]](/images/smileys/gutenacht.gif "[gutenacht]") Al-Chwarizmi
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Ich vermute, dass die Anlage so gemeint ist
(mitzeichnen zum Verständnis empfohlen !) :
Die Hauptachse der Ellipse liegt auf der x-Achse.
Das Polarkoordinatensystem hat seinen Nullpunkt
im rechten Brennpunkt F(u/0) mit u>0
und seine Nullrichtung zeigt nach rechts, also
in Richtung der x-Achse.
Der linke Hauptscheitel A soll nun zum Nullpunkt
des rechtwinkligen x-y-Systems erklärt werden,
also A(0/0). Der rechte Hauptscheitel B liegt
rechts von F auf der x-Achse.
Betrachtet man nun die Koordinaten von A und B
bezüglich beider Koordinatensysteme, so kann man
z.B. sehen, dass gelten muss:
[mm] v=|\overline{FB}|=\bruch{p}{1+\epsilon}
[/mm]
[mm] u=|\overline{AF}|=\bruch{p}{1-\epsilon}
[/mm]
Die Länge der Hauptachse [mm] \overline{AB} [/mm] wird dann
[mm] |\overline{AB}|=|\overline{AF}|+|\overline{FB}|=\bruch{p}{1-\epsilon}+\bruch{p}{1+\epsilon}=\bruch{2*p}{1-\epsilon^2}
[/mm]
und die Hälfte davon ist die "grosse Halbachse" [mm] a=\bruch{p}{1-\epsilon^2}
[/mm]
der Ellipse.
Die Gleichung, die wir schon hergeleitet haben (siehe da!)
müsste also statt mit x mit einer Variablen [mm] \overline{x} [/mm] geschrieben
werden als:
$ \ [mm] y^2=p^2-2p\epsilon \overline{x}-(1-\epsilon^2)\overline{x}^2 [/mm] $
Dabei ist [mm] \overline{x} [/mm] die von F aus gemessene horizontale
Koordinate und es müsste gelten:
[mm] \overline{x}=x-u=x-\bruch{p}{1-\epsilon}
[/mm]
bzw.
[mm] x=\overline{x}+\bruch{p}{1-\epsilon}
[/mm]
Die (angebliche) Lösung für die Gleichung in x und y ist
$ [mm] y^2=2px-(1-\epsilon^2)x^2 [/mm] $
Es bliebe also durch Einsetzen und Umformen zu
zeigen, dass dies wirklich alles zusammenpasst.
Etwas unangenehme, aber vielleicht doch dem
Training dienende Übung !
Und dann wäre es nützlich, endlich eine Formulie-
rung der Aufgabenstellung zu finden, welche
vollständig und klar ist. Möglicherweise gibt es
dann auch einen wesentlich einfacheren Lösungs-
weg als über die verschlungenen Pfade und teil-
weisen Irrwege, die wir jetzt beschritten haben.
Al-Chwarizmi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:20 Mi 10.06.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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