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| Aufgabe | Sei [math]M:=\{x\in \mathbb{R}\mid x=\frac {m} {2^n},n\in \mathbb{N},m\in \mathbb{Z}\}[/math]. [mm] Zeige:\\
[/mm]
a: [math]M[/math] ist [mm] dicht.\\
[/mm]
b: [math]A\subset M[/math] und [math]A[/math] offen, dann ist [math]A=\varnothing[/math] |
Ist die Lösung so [mm] ok.\\
[/mm]
Zu a:
Ohne Einschränkungen kann man
Es sei [math]A=\bigcup_{j\in \mathbb{N}}A_{j}=\bigcup_{j\in \mathbb{N}}\{x\in \mathbb{R}\mid x=\frac {j} {2^n},n\in \mathbb{N}\}[/math], wobei [math]j\in \mathbb{N}_{0}[/math] betrachten, denn für die negativen Zahlen geht dies dann analog.
Setze [math]x\in M[/math] mit [math]x=\frac {j'} {2^n'}[/math].
Nun sei [math]a_{n}=\inf_{j\in \mathbb{N}_{0}}\{|\frac {j} {2^n}-\frac {j'} {2^n'}|\}[/math], wobei [math]\forall j\in \mathbb{N}_{0}\forall n\in \mathbb{N}: \frac {j} {2^n}\neq \frac {j'} {2^n'}[/math]. Dann gilt offensichtlich [math]\forall n\in \mathbb{N}: a_{n}>0\wedge \forall n\in \mathbb{N}: a_{n}<|\frac {j+1} {2^n}-\frac {j} {2^n}|=|\frac {1} {2^n}|[/math]. Ich denke, dass man das nicht beweisen muss, denn es ist klar nehme an [math]x\in \mathbb{R}^+\cup\{0\}\Rightarrow x\in \bigcup_{j\in \mathbb{N}_{0}}[\frac {j} {2^n},\frac {j+1} {2^n}][/math]. Nun ist [math]\forall j\in \mathbb{N}:x\neq \frac {j} {2^n}[/math], also muss [math]x[/math] in einem offenen Intervall [math](\frac {j} {2^n},\frac {j+1} {2^n})[/math] liegen, denn sonst Widerspruch zu [math]x\in \mathbb{R}^+\cup\{0\}[/math], aber das ist doch offensichtlich. Insgesamt ist [math]a_{n}<|\frac {1} {2^n}|[/math] und weil [math]\frac {1} {2^n}[/math] eine Nullfolge ist, ist [math]a_{n}[/math] eine Nullfolge. Nun sei [math]x\notin M\wedge x\in \mathbb{R}^+\cup\{0\}[/math]. Genau wie oben. [math]x[/math] muss im offenen Intervall liegen, also die gleiche Abschätzung und damit ist [math]M[/math] dicht in [math]\mathbb{R}[/math], denn [math]\forall m\in M:U_{\epsilon}(m)\cap \mathbb{R}\neq \varnothing[/math]. [mm] \\
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b: Es gibt eine einfache Möglichkeit, nämlich zu behaupten [math]A[/math] hätte innere Punkte, damit muss auch [math]M[/math] innere Punkte haben und damit Widerpspruch zur Dichtheit.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:45 Fr 12.12.2008 | | Autor: | SEcki |
> Zu a:
> Ohne Einschränkungen kann man
> Es sei [math]A=\bigcup_{j\in \mathbb{N}}A_{j}=\bigcup_{j\in \mathbb{N}}\{x\in \mathbb{R}\mid x=\frac {j} {2^n},n\in \mathbb{N}\}[/math],
> wobei [math]j\in \mathbb{N}_{0}[/math] betrachten, denn für die
> negativen Zahlen geht dies dann analog.
Und was soll das bringen? Bzw.: was möchtest du zeigen?
> Setze [math]x\in M[/math] mit [math]x=\frac {j'} {2^n'}[/math].
Für fixe [m]j',n'[/m]?
> Nun sei
> [math]a_{n}=\inf_{j\in \mathbb{N}_{0}}\{|\frac {j} {2^n}-\frac {j'} {2^n'}|\}[/math],
Wieso das Infimum nur über j? Musst du nicht noch über n gehen?
> wobei [math]\forall j\in \mathbb{N}_{0}\forall n\in \mathbb{N}: \frac {j} {2^n}\neq \frac {j'} {2^n'}[/math].
Das ist per se offensichtlich falsch: [m]\frac {j*2} {2^{n+1}}\eq \frac {j} {2^n}[/m]
> Nun ist [math]\forall j\in \mathbb{N}:x\neq \frac {j} {2^n}[/math], also
Widerspricht irgendwie wie du x oben selbst gesetzt hast.
> muss [math]x[/math] in einem offenen Intervall [math](\frac {j} {2^n},\frac {j+1} {2^n})[/math]
> liegen, denn sonst Widerspruch zu [math]x\in \mathbb{R}^+\cup\{0\}[/math],
> aber das ist doch offensichtlich. Insgesamt ist
> [math]a_{n}<|\frac {1} {2^n}|[/math] und weil [math]\frac {1} {2^n}[/math] eine
> Nullfolge ist, ist [math]a_{n}[/math] eine Nullfolge.
Und was willst du zeigen damit?
> Nun sei [math]x\notin M\wedge x\in \mathbb{R}^+\cup\{0\}[/math].
> Genau wie oben. [math]x[/math] muss im offenen Intervall liegen, also
> die gleiche Abschätzung und damit ist [math]M[/math] dicht in
> [math]\mathbb{R}[/math], denn [math]\forall m\in M:U_{\epsilon}(m)\cap \mathbb{R}\neq \varnothing[/math].
Diese Aussage stimmt immer und ohne etwas zu zeigen - möchtest du da etwas anderes stehen haben? Dies zeigt daher auch nicht Dichtheit. Ich finde obiges sehr konfus: was willst du wie zeigen? Ich verstehe deinen Ansatz nicht!
> b: Es gibt eine einfache Möglichkeit, nämlich zu behaupten
> [math]A[/math] hätte innere Punkte, damit muss auch [math]M[/math] innere Punkte
> haben und damit Widerpspruch zur Dichtheit.
Das stimmt überhaupt nicht - wo wäre der Widerspruch zur Dichtheit? [m]\IR[/m] ist auch dicht zB.
Ich glaube nicht, dass dir Dichtheit klar ist - was ist denn eure Definition? Wo und wie willst du diese Einsetzen?
SEcki
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Ok. Also einmal wird [math]x\in M[/math] gewählt und einmal [math]x\in \mathbb{R}^+\cup\{0\}\backslash M[/math]. Also zwei Fälle. Wenn die stimmen gilt das ganze dann für [math]\mathbb{R}^+\cup\{0\}[/math]. Den ganzen Beweis nun für [math]\mathbb{R}^-[/math] und fertig. Weiter ist doch klar, dass [math]\frac {j} {2^n}
Zur Dichtheit. Die Definition wurde gennant, wobei [math]U_{\epsilon}(x)=(x-\epsilon,x+\epsilon)[/math]. Nun ist [math]a_{n}[/math] eine Nullfolge, wegen [math]a_{n}<\frac {1} {2^n}[/math], also [math]\forall \epsilon>0\exists N\in \mathbb{N}\forall n>N:|a_{n}-0|<\epsilon[/math] und damit [math]U_{\epsilon}(x)\cap M\neq \varnothing[/math].
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:20 So 14.12.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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