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Forum "mathematische Statistik" - Dichteschätzung
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Dichteschätzung: via Kerndichteschätzer
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:07 Di 22.05.2012
Autor: mikexx

Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

Aufgabe
Führen Sie anhand der Daten $x_1=10, x_2=15$ und $x_3=20$ unter Verwendung des Kerndichteschätzers eine Dichteschätzung durch. Benutzen Sie dazu

(i) einen Rechteckkern
(ii) einen Dreieckkern.

Wählen Sie $h=2,4,6$.



Moin! Ich würde gerne von Euch kontrollieren lassen, ob ich das Prinzip richtig verstanden habe.

Also der Kerndichteschätzer zur Bandbreite h und zum Kern K ist definiert als:

$\hat{f}_{h}^{K}(x)=\frac{1}{nh}\sum_{j=1}^{n}K\left(\frac{x-X_i}{h}\right)$, also hier (mal beispielhaft für $h=2$) :

$\hat{f}_{2}^{K}(x)=\frac{1}{6}\sum_{j=1}^{3}K\left(\frac{x-X_i}{2}\right)=\frac{1}{6}\left[K\left(\frac{x-10}{2}\right)+K\left(\frac{x-15}{2}\right)+K\left(\frac{x-20}{2}\right)\right]$

Wenn ich jetzt bei (i) einen Rechteckkern nehme, bedeutet das:

$K_{R}(x)=\begin{cases}\frac{1}{2}, & \mbox{falls }-1\leq x\leq 1\\ 0, & \mbox{sonst}\end{cases}$

Daraus folgt:

$K\left(\frac{x-10}{2}\right)=\begin{cases}\frac{1}{2}, & \mbox{falls }8\leq x\leq 12\\0, & \mbox{sonst}\end{cases}$

$K\left(\frac{x-15}{2}\right)=\begin{cases}\frac{1}{2}, & \mbox{falls }13\leq x\leq 17\\0, & \mbox{sonst}\end{cases}$

$K\left(\frac{x-20}{2}\right)=\begin{cases}\frac{1}{2}, & \mbox{falls }18\leq x\leq 22\\0, & \mbox{sonst}\end{cases}$

Somit komme ich bei (i) auf das Endergebnis:

$\hat{f}_{2}^{K}(x)=\begin{cases}0, & \mbox{falls }x<8\\\frac{1}{12}, & \mbox{falls }8\leq x\leq 12\\0, & \mbox{falls }12<x<13\\\frac{1}{12}, & \mbox{falls }13\leq x\leq 17\\0, & \mbox{falls }17<x<18}\\\frac{1}{12}, & \mbox{falls }18\leq x\leq 22\\0, & \mbox{falls }22<x\end{cases}$



Beim Dreieckkern bei (ii) hat man:

$K_{D}(x)=\begin{cases}1-\vert x\vert, & \mbox{falls }\vert x\vert < 1\\0, & \mbox{sonst}\end{cases}$

Ich bin analog zu (i) vorgegangen und erhalte letztlich:

$\hat{f}_2^{K_{D}}(x)=\begin{cases}0, & \mbox{falls }x\leq 8\\\frac{1}{6}\left(1-\frac{\vert x-10\vert}{2}\right), & \mbox{falls }8<x<12\\0, & \mbox{falls }12\leq x\leq 13\\\frac{1}{6}\left(1-\frac{\vert x-15\vert}{2}\right), & \mbox{falls }13<x<17\\0, & \mbox{falls }17\leq x\leq 18\\\frac{1}{6}\left(1-\frac{\vert x-20\vert}{2}\right), & \mbox{falls }18<x<22\\0, & \mbox{falls }22\leq x\end{cases}$



Könnt Ihr mir wohl bitte sagen, ob das so korrekt ist?

(Wenn ja, habe ich das Prinzip verstanden und rechne dann noch das Ganze für die Bandbreiten 4 und 6 durch.)


Liebe Grüße!

mikexx



        
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Dichteschätzung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:07 Mi 23.05.2012
Autor: mikexx

Niemand eine Reaktion für mich?... das ist schade.

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Dichteschätzung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:02 Mi 23.05.2012
Autor: mikexx

Würde es vllt. jemanden motivieren, wenn ich alle Ergebnisse poste?



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Dichteschätzung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:30 Mi 23.05.2012
Autor: Blech

Hi,

wir hatten auf Bildchen gehofft, weil sich die leichter checken lassen als Rechnungen. =)

Sieht aber richtig aus.

ciao
Stefan

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Dichteschätzung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:38 Mi 23.05.2012
Autor: mikexx

Achso, Bildchen. Die sind in der Aufgabe nicht gefordert und deswegen habe ich keine angefertigt. :-)

Also der Fall mit dem Rechteckkern und h=2 ist noch relativ übersichtlich, weil sich da nichts "überschneidet". Wenn man sich mal z.B. den Fall h=4 ansieht, ist das schon ein bisschen umständlicher.


[mm] $K\left(\frac{x-10}{4}\right)=\begin{cases}\frac{1}{2}, & \mbox{falls }6\leq x\leq 14\\0, & \mbox{sonst}\end{cases}$ [/mm]

[mm] $K\left(\frac{x-15}{4}\right)=\begin{cases}\frac{1}{2}, & \mbox{falls }11\leq x\leq 19\\0, & \mbox{sonst}\end{cases}$ [/mm]

[mm] $K\left(\frac{x-20}{4}\right)=\begin{cases}\frac{1}{2}, & \mbox{falls }16\leq x\leq 24\\0, & \mbox{sonst}\end{cases}$ [/mm]

Und somit:

[mm] $\hat{f}_{4}^{K_{R}}(x)=\begin{cases}0, & \mbox{falls }x<6\\\frac{1}{12}, & \mbox{falls }6\leq x< 11\\\frac{1}{6}, & \mbox{falls }11\leq x\leq14\\\frac{1}{12}, & \mbox{falls }14

Oder zum Beispiel Dreieckkern und h=6:

[mm] $K\left(\frac{x-10}{6}\right)=\begin{cases}1-\frac{\vert x-10\vert}{6}, & \mbox{falls }4
[mm] $K\left(\frac{x-15}{6}\right)=\begin{cases}1-\frac{\vert x-15\vert}{6}, & \mbox{falls }9
[mm] $K\left(\frac{x-20}{6}\right)=\begin{cases}1-\frac{\vert x-20\vert}{6}, & \mbox{falls }14
Daraus folgt:

[mm] $\hat{f}_{6}^{K_{D}}(x)=\begin{cases}0, & \mbox{falls }x\leq 4\\\frac{1}{6}-\frac{\vert x-10\vert}{36}, & \mbox{falls }4


Das macht schon weniger Freude...

Ist aber hoffentlich korrekt? Sonst hab ich das alles umsonst getext..

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Dichteschätzung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:56 Mi 23.05.2012
Autor: Blech

Hi,

$ [mm] \hat{f}_{4}^{K_{R}}(x)=\begin{cases}0, & \mbox{falls }x<6\\\frac{1}{12}, & \mbox{falls }6\leq x< 11\\\frac{1}{6}, & \mbox{falls }11\leq x\leq14\\\frac{1}{12}, & \mbox{falls }14
Du hast das h vor der Summe [mm] ($\frac 1{nh}\sum\ldots$) [/mm] nicht von 2 auf 4 erhöht, deswegen ist die Dichte überall doppelt so groß, wie sie sein sollte.
Summier mal auf, dann wirst Du sehen, daß 2 rauskommt statt 1.

> (Dreieck)

Sieht denk ich wie der gleiche Fehler aus.


ciao
Stefan

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Dichteschätzung: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 15:26 Mi 23.05.2012
Autor: mikexx

Ah, danke, das habe ich ja total übersehen!

Hier dann abschließend die (nun korrigierten) Lösungen im Überblick:

[mm] \underline{1.) Rechteckkern: h=2} [/mm]

[mm] $\hat{f}_{2}^{K_{R}}(x)=\begin{cases}0, & \mbox{falls }x<8\\\frac{1}{12}, & \mbox{falls }8\leq x\leq 12\\0, & \mbox{falls }12
[mm] \underline{Rechteckkern: h=4} [/mm]

[mm] $\hat{f}_{4}^{K_{R}}(x)=\begin{cases}0, & \mbox{falls }x<6\\\frac{1}{24}, & \mbox{falls }6\leq x< 11\\\frac{1}{12}, & \mbox{falls }11\leq x\leq14\\\frac{1}{24}, & \mbox{falls }14
[mm] \underline{Rechteckkern: h=6} [/mm]

[mm] $\hat{f}_{6}^{K_{R}}(x)=\begin{cases}0, & \mbox{falls }x<4\\\frac{1}{36}, & \mbox{falls }4\leq x<9\\\frac{1}{18}, & \mbox{falls }9\leq x<14\\\frac{1}{12}, & \mbox{falls }14\leq x\leq 16\\\frac{1}{18}, & \mbox{falls }16
[mm] \underline{Dreieckkern: h=2} [/mm]

[mm] $\hat{f}_{2}^{K_{D}}(x)=\begin{cases}0, & \mbox{falls }x\leq 8\\\frac{1}{6}-\frac{\vert x-10\vert}{12}, & \mbox{falls }8
[mm] \underline{Dreieckkern: h=4} [/mm]

[mm] $\hat{f}_{4}^{K_{D}}(x)=\begin{cases}0, & \mbox{falls }x\leq 6\\\frac{1}{12}-\frac{\vert x-10\vert}{48}, & \mbox{falls }6
[mm] \underline{Dreieckkern: h=6} [/mm]

[mm] $\hat{f}_{6}^{K_{D}}(x)=\begin{cases}0, & \mbox{falls }x\leq 4\\\frac{1}{18}-\frac{\vert x-10\vert}{108}, & \mbox{falls }4


[ok] oder [notok]?

Wenn [notok]: Wo ist noch etwas falsch? :-)



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Dichteschätzung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:39 Do 24.05.2012
Autor: mikexx

Ich weiß, das macht keine Freude zu kontrollieren.

Vielleicht sollte ich doch Bildchen malen. :-)

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Dichteschätzung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:24 Do 24.05.2012
Autor: Blech

Ich hatte mir gestern noch überlegt, wie ich Dir das schonend beibringe. =)


Sagen wir's so: Das Konzept hast Du kapiert (viele kleine Dichtchen ersetzen die Beobachtungen). Die Arbeit, das alles zu kontrollieren, überlassen wir Leuten, die dafür bezahlt werden. =P

ciao
Stefan

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Dichteschätzung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:28 Fr 25.05.2012
Autor: mikexx

Na gut, überlassen wir's den Leuten, die ein bisschen Geld dafür bekommen, sowas zu kontrollieren. Viel Spaß dem Tutor. :-)

Die Bestätigung, daß ich das Konzept verstanden habe, reicht erstmal völlig aus. Alles Andere sind einfach nur Rechnungen.


Besten Dank!

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Dichteschätzung: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:20 Fr 25.05.2012
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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