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Forum "Wahrscheinlichkeitstheorie" - Dichtefunktion Chi-Quadrat-Vtl
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Dichtefunktion Chi-Quadrat-Vtl: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:26 Fr 01.05.2020
Autor: sancho1980

Aufgabe
Leiten Sie die Dichtefunktion der [mm] \chi^2(1)-Verteilung [/mm] aus Kenntnis der Dichtefunktion der Standardnormalverteilung her.
Tipp: X = [mm] Z^2 [/mm] ist für standardnormalverteiltes Z chi-quadrat-verteilt mit m = 1. Verwenden Sie nun P(X [mm] \le [/mm] x) = [mm] P(Z^2 \le [/mm] x) um die Verteilungsfunktion von X durch jene von Z auszudrücken.

Hallo!

Die Dichtefunktion der [mm] \chi^2-Verteilung [/mm] ist laut meinem Buch:

f(x) = [mm] \bruch{1}{2^{\bruch{m}{2}} \Gamma(\bruch{m}{2})} x^{\bruch{m}{2} - 1} e^{-\bruch{x}{2}}. [/mm]

Die der [mm] \chi^2(1)-Verteilung [/mm] lautet somit

f(x) = [mm] \bruch{1}{2^{\bruch{1}{2}} \Gamma(\bruch{1}{2})} x^{\bruch{1}{2} - 1} e^{-\bruch{x}{2}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{\wurzel{2 \pi x}} e^{-\bruch{x}{2}} [/mm]

Jetzt ist die Dichtefunktion der Standardnormalverteilung:

[mm] \phi(z) [/mm] = [mm] \bruch{1}{\wurzel{z \pi}} e^{-\bruch{z^2}{2}} [/mm]

Jetzt ist X = [mm] Z^2, [/mm] somit gilt

[mm] F_x(x) [/mm] = [mm] F_z(\wurzel{x}) [/mm]

Jetzt ableiten:

[mm] F_x'(x) [/mm] = [mm] \bruch{1}{2 \wurzel{x}} F_z'(x^{\bruch{1}{2}}) [/mm] = [mm] \bruch{1}{2 \wurzel{x}} \phi(\wurzel{x}) [/mm] = [mm] \bruch{1}{2 \wurzel{2 \pi x}} e^{-\bruch{x}{2}} \ne \bruch{1}{\wurzel{2 \pi x}} e^{-\bruch{x}{2}} [/mm]

Was mache ich falsch?

        
Bezug
Dichtefunktion Chi-Quadrat-Vtl: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:23 Fr 01.05.2020
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Jetzt ist die Dichtefunktion der Standardnormalverteilung:
>  
> [mm]\phi(z)[/mm] = [mm]\bruch{1}{\wurzel{z \pi}} e^{-\bruch{z^2}{2}}[/mm]

Das solltest du nochmal nachschlagen…

  

> Jetzt ist X = [mm]Z^2,[/mm] somit gilt
>  
> [mm]F_x(x)[/mm] = [mm]F_z(\wurzel{x})[/mm]

Auch das ist nicht korrekt…
Schreib mal die Definition der Verteilungsfunktion für X konkret hin und Forme dann sauber äquivalent um! (Im Übrigen ist der Index von F die ZV, d.h. der Großbuchstabe)
Tipp: [mm] $Z^2 \le [/mm] x [mm] \not\gdw [/mm] Z [mm] \le \sqrt{x}$ [/mm]

Gruß,
Gono


Bezug
                
Bezug
Dichtefunktion Chi-Quadrat-Vtl: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:41 Sa 02.05.2020
Autor: sancho1980

Hallo,

> > Jetzt ist die Dichtefunktion der Standardnormalverteilung:
>  >  
> > [mm]\phi(z)[/mm] = [mm]\bruch{1}{\wurzel{z \pi}} e^{-\bruch{z^2}{2}}[/mm]
>  
> Das solltest du nochmal nachschlagen…

Tippfehler!

>  
>
> > Jetzt ist X = [mm]Z^2,[/mm] somit gilt
>  >  
> > [mm]F_x(x)[/mm] = [mm]F_z(\wurzel{x})[/mm]
>  Auch das ist nicht korrekt…
>  Schreib mal die Definition der Verteilungsfunktion für X
> konkret hin und Forme dann sauber äquivalent um! (Im
> Übrigen ist der Index von F die ZV, d.h. der
> Großbuchstabe)
>  Tipp: [mm]Z^2 \le x \not\gdw Z \le \sqrt{x}[/mm]

Bin leider zu doof; die Definition der Verteilungsfunktion für X:

[mm] F_X(x) [/mm] = P(X [mm] \le [/mm] x) = [mm] P(Z^2 \le [/mm] x) = P(|Z| [mm] \le \wurzel{x}) [/mm]

Aber was kann ich damit anfangen. Ich brauche

P(Z [mm] \le [/mm] irgendwas)

statt

P(|Z| [mm] \le [/mm] irgendwas)

um mit [mm] F_Z(irgendwas) [/mm]

gleichsetzen zu können ... :-(

Bezug
                        
Bezug
Dichtefunktion Chi-Quadrat-Vtl: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:40 Sa 02.05.2020
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Bin leider zu doof; die Definition der Verteilungsfunktion
> für X:
>  
> [mm]F_X(x)[/mm] = P(X [mm]\le[/mm] x) = [mm]P(Z^2 \le[/mm] x) = P(|Z| [mm]\le \wurzel{x})[/mm]

Bis hierhin ja schon ganz gut.

>  
> Aber was kann ich damit anfangen. Ich brauche
>  
> P(Z [mm]\le[/mm] irgendwas)
>  
> statt
>  
> P(|Z| [mm]\le[/mm] irgendwas)

korrekt.

Es ist doch aber: $|Z| [mm] \le [/mm] z [mm] \gdw [/mm] -z [mm] \le [/mm] Z [mm] \le [/mm] z$

und schon bekommen wir (da Z stetig):
[mm] $F_X(x)= [/mm] P(X [mm] \le [/mm] x) = [mm] P(Z^2 \le [/mm] x) = P(|Z| [mm] \le \wurzel{x}) [/mm] = [mm] P(-\wurzel{x} \le [/mm] Z [mm] \le \wurzel{x}) [/mm] = P(Z [mm] \le \wurzel{x}) [/mm] - P(Z [mm] \le -\wurzel{x})$ [/mm]

Insgesamt also:
[mm] $F_X(x) [/mm] = [mm] F_Z(\wurzel{x}) [/mm] - [mm] F_Z(-\wurzel{x})$ [/mm]

Damit könnte man ja schon arbeiten… wenn man nun aber noch nutzt, dass Z standardnormalverteilt ist, gilt ja sogar [mm] $F_Z(-\wurzel{x}) [/mm] = 1 - [mm] F_Z(\wurzel{x})$ [/mm] und der ganze Spaß vereinfacht sich zu:

[mm] $F_X(x) [/mm] = [mm] 2F(\wurzel{x}) [/mm] - 1$

Gruß,
Gono

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