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Forum "Wahrscheinlichkeitsrechnung" - Dichtefunktion
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Dichtefunktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:07 So 17.06.2012
Autor: Cyantific

Aufgabe
f(t) = [mm] a(1-t^2) [/mm] für -1<=t<=1
           0 sonst

a) Skizzieren Sie die Dichte!
b) Berechnen Sie a!

1. Kann man die Dichte überhaupt, ohne a vorher  berechnet zu haben, zeichnen?

2. Stimmt folgende Rechnung?

[mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{f(t) dt}=1 [/mm]

--> [mm] \integral_{-\infty}^{-1}{f(t) dt} [/mm] + [mm] \integral_{-1}^{1}{f(t) dt} +\integral_{1}^{\infty}{f(t) dt} [/mm] = 1

--> 0 + [mm] \integral_{-1}^{1}{f(t) dt} [/mm] +0 =1
--> [mm] a\integral_{-1}^{1}{1-t^2 dt} [/mm] =1
--> [mm] a(\integral_{-1}^{1}{1 dt} -\integral_{-1}^{1}{t^2 dt} [/mm]
--> a((1-(-1)) -((1/3-(-1/3)))) =1 --> a=0,75

3. Da Mathe A bei mir schon etwas länger her ist, würde ich gern wissen ob z.B. vom [mm] \integral_{a}^{b}{f(t) dt} [/mm] das a bzw. b einschließlich oder ausschließlich ist.

Ich befürchte dann nämlich, dass die Grenzen(Integral) nicht sauber definiert sind. Wie würde es dann aussehen?

4. Ist das die generelle Vorgehensweise, dass man das Gesamtintervall gemäß dem Definitionsbereich der Dichte splittet?

        
Bezug
Dichtefunktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:18 So 17.06.2012
Autor: Diophant

Hallo,

> 1. Kann man die Dichte überhaupt, ohne a vorher
> berechnet zu haben, zeichnen?

Na ja, es ist wie bei deiner anderen aktuellen Frage auch: exakt kann man das nicht, aber es steht ja auch 'Skizzieren' da und nicht 'Zeichnen'. :-)

>
> 2. Stimmt folgende Rechnung?
>
> [mm]\integral_{-\infty}^{\infty}{f(t) dt}=1[/mm]
>
> --> [mm]\integral_{-\infty}^{-1}{f(t) dt}[/mm] +
> [mm]\integral_{-1}^{1}{f(t) dt} +\integral_{1}^{\infty}{f(t) dt}[/mm]
> = 1
>
> --> 0 + [mm]\integral_{-1}^{1}{f(t) dt}[/mm] +0 =1
> --> [mm]a\integral_{-1}^{1}{1-t^2 dt}[/mm] =1
> --> [mm]a(\integral_{-1}^{1}{1 dt} -\integral_{-1}^{1}{t^2 dt}[/mm]
>
> --> a((1-(-1)) -((1/3-(-1/3)))) =1 --> a=0,75

Ja, das stimmt: [mm] a=\bruch{3}{4}=0.75 [/mm]

> 3. Da Mathe A bei mir schon etwas länger her ist, würde
> ich gern wissen ob z.B. vom [mm]\integral_{a}^{b}{f(t) dt}[/mm] das
> a bzw. b einschließlich oder ausschließlich ist.

Wie meinst du das? Bezogen auf eine stetige Verteilungsfunktion ist es egal, da hier stets [mm] F(X

> Ich befürchte dann nämlich, dass die Grenzen(Integral)
> nicht sauber definiert sind. Wie würde es dann aussehen?

Es gibt nichts zu befürchten. ;-)

> 4. Ist das die generelle Vorgehensweise, dass man das
> Gesamtintervall gemäß dem Definitionsbereich der Dichte
> splittet?

Das ist eine etwas schwammige Frage. Dichte- und Verteilungsfunktionen sind naturgemäß oftmals abschnittsweise definiert. Dabei muss man natürlich stets für die Verteilungsfunktion die gleichen Abschnitte verwenden wie für die Dichte. Und stets auf folgende Punkte achten:

- [mm]\limes_{x\rightarrow-\infty}F(x)=0 [/mm]

- Die Verteilungsfunktion muss (rechts-)stetig und monoton steigend sein

- [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}F(x)=1 [/mm]


Gruß, Diophant

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Dichtefunktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:56 So 17.06.2012
Autor: Cyantific

Ich danke dir herzlich Diophant :-)!

Nochmal zu der 1. Frage mit dem Skizzieren. Wenn ich jetzt zuerst a ausrechne ist das Zeichnen einfach: Ich setzt für t irgendein Wert ein und bekomm den Dazugehörigen (f(t)). Wenn ich das a aber noch nicht habe, muss ich doch iwas dafür annehmen. Ich checks grad nicht wie ich das ohne a machen soll? :-)

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Dichtefunktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:07 So 17.06.2012
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

das a ist doch nur eine Skalierung.
d.h. ob da an der y-Achse ne 1 oder nen a steht ist für die Skizze völlig egal!
Insofern nimm für deine Skizze a=1 an und schreib statt 1 nen a an die y-Achse :-)

MFG,
Gono.

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Dichtefunktion: Korrekturmitteilung
Status: (Korrektur) kleiner Fehler Status 
Datum: 15:06 So 17.06.2012
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

eine kleine Korrektur:

> - Die Verteilungsfunktion muss stetig und monoton steigend sein

rechtsstetig reicht aus, Stetigkeit muss nicht vorliegen.

MFG,
Gono.

Bezug
                        
Bezug
Dichtefunktion: Korrekturmitteilung
Status: (Korrektur) richtig (detailiert geprüft) Status 
Datum: 15:49 So 17.06.2012
Autor: Diophant

Hi Gono,

danke für die Korrektur. Ich habs oben noch ergänzt.

Gruß, Diophant

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