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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 14:20 Di 01.05.2012 | | Autor: | Gedro |
| Aufgabe | Sei [mm] n\in\IN [/mm] und die Menge aller quadratischen Matrizen [mm] M_{n}(\IC) [/mm] mit [mm] \IC^{n^2} [/mm] identifiziert.Zeige, dass
(a) [mm] \{A\in M_{n}(\IC) |\mbox {A hat n paarweise verschiedene Eigenwerte} \} [/mm] dicht in [mm] M_{n}(\IC) [/mm] liegt
(b) [mm] \{A\in M_{n}(\IC) |\mbox {A ist diagonalisierbar} \} [/mm] dicht in [mm] M_{n}(\IC) [/mm] liegt |
Hallo,
zu (a) habe ich mir folgendes überlegt:
[mm] \{A\in M_{n}(\IC) |\mbox {A hat n paarweise verschiedene Eigenwerte} \} [/mm] dicht in [mm] M_{n}(\IC) [/mm]
[mm] \gdw \{v\in \IC^{n^2} | det(A-\lambda E) \mbox {hat n paarweise verschiedene Nullstellen} \} [/mm] dicht in [mm] M_{n}(\IC) [/mm]
[mm] \gdw [/mm] Sei [mm] p_{v}(\lambda) [/mm] das char. Polynom der Matrix v. [mm] \{v\in \IC^{n^2} | p_{v}(\lambda) \mbox{ hat n paarweise verschiedene Linearfaktoren} \} [/mm] dicht in [mm] \{v\in\IC^{n^2} | p_{v}(\lambda)\}
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] Sei [mm] \IP_{n}(\IC) [/mm] die Menge der Polynome in [mm] \IC [/mm] vom Grad n : [mm] \{p_{v}\in\IP_{n}(\IC) | p_{v} \mbox{ hat n paarweise verschiedene Linearfaktoren} \} [/mm] dicht in [mm] \IP_{n}(\IC)
[/mm]
Ist diese Äquivalenzumformung so legitim, wenn ich noch dazu sage, dass nach dem fundamentalsatz der Algebra jedes Polynom im komplexen in Linearfaktoren zerfällt?
Jetzt bin ich mir aber nicht ganz sicher, wie ich zeigen soll, dass die Menge der Polynome mit unterschiedlichen Linearfaktoren, also unterschiedlichen Nullstellen dicht in der Menge aller Polynome liegt. Ich habe mir überlegt evtl. mit Folgen von Polynomfunktionen zu argumentieren, aber bin mir nicht sicher wie ich das formal korrekt machen soll.
Zur (b): Folgt aus (a) nicht schon (b), da jede Matrix genau dann diagonalisierbar ist, wenn sie n verschiedenen Eigenwerten besitzt? Oder irre ich mich da gerade. Muss gestehen, dass ich Lineare Algebra leider noch nicht hatte. :/
Gruß,
Gedro
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:30 Mi 02.05.2012 | | Autor: | SEcki |
> Ist diese Äquivalenzumformung so legitim, wenn ich noch
> dazu sage, dass nach dem fundamentalsatz der Algebra jedes
> Polynom im komplexen in Linearfaktoren zerfällt?
Imo nein. Warum ist die Dichtheit des Polynoms äquivalent zur Dichtheit der Matrizen? Das müsstest du beweisen - die Hinrichtung sehe ich ja ein, aber die Umkehrung?
> Jetzt bin ich mir aber nicht ganz sicher, wie ich zeigen
> soll, dass die Menge der Polynome mit unterschiedlichen
> Linearfaktoren, also unterschiedlichen Nullstellen dicht in
> der Menge aller Polynome liegt. Ich habe mir überlegt
> evtl. mit Folgen von Polynomfunktionen zu argumentieren,
> aber bin mir nicht sicher wie ich das formal korrekt machen
> soll.
Das wäre nun wirklich einfach - da ja das Polynom in Linearfaktoren zerfällt, kannst du n-fache ([m]n\ge 2[/m]) Nullstellen approximieren, zB [m](x-2)^2\approx (x-2+\varpesilon)(x-2-\varepsilon)[/m].
> Zur (b): Folgt aus (a) nicht schon (b), da jede Matrix
> genau dann diagonalisierbar ist, wenn sie n verschiedenen
> Eigenwerten besitzt? Oder irre ich mich da gerade. Muss
> gestehen, dass ich Lineare Algebra leider noch nicht hatte.
> :/
Da (b) eine Obermenge von (a) ist - ja.
SEcki
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:52 Mi 02.05.2012 | | Autor: | Gedro |
Meinst du die letzte Äquivalenzumformung? Also von
Sei [mm] p_{v}(\lambda) [/mm] das char. Polynom der Matrix v. [mm] \{v\in \IC^{n^2} | p_{v}(\lambda) \mbox{ hat n paarweise verschiedene Linearfaktoren} \} [/mm] dicht in [mm] \{v\in\IC^{n^2} | p_{v}(\lambda)\}
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] Sei [mm] \IP_{n}(\IC) [/mm] die Menge der Polynome in [mm] \IC [/mm] vom Grad n : [mm] \{p_{v}\in\IP_{n}(\IC) | p_{v} \mbox{ hat n paarweise verschiedene Linearfaktoren} \} [/mm] dicht in [mm] \IP_{n}(\IC) [/mm]
Gilt denn nicht, dass [mm] \{v\in\IC^{n^2} | p_{v}(\lambda)\} [/mm] = [mm] \IP_{n}(\IC) [/mm] ist? Es ist doch möglich für jegliches Polynom in [mm] \IP_{n}(\IC) [/mm] eine Matrix [mm] v\in\IC^{n^2} [/mm] (Vektordarstellung) zu finden, sodass ihr charakteristisches Polynom gleich dem Polynom ist, und umgekehrt ist jegliches charakteristisches Polynom einer Matrix ebenfalls in [mm] \IP_{n}(\IC) [/mm] enthalten?
Für die Teilmengen mit (Polynome mit unterschiedlichen Linearfaktoren) würde ich ebenfalls so argumentieren.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:23 Mi 02.05.2012 | | Autor: | SEcki |
> Gilt denn nicht, dass [mm]\{v\in\IC^{n^2} | p_{v}(\lambda)\}[/mm] =
> [mm]\IP_{n}(\IC)[/mm] ist? Es ist doch möglich für jegliches
> Polynom in [mm]\IP_{n}(\IC)[/mm] eine Matrix [mm]v\in\IC^{n^2}[/mm]
> (Vektordarstellung) zu finden, sodass ihr
> charakteristisches Polynom gleich dem Polynom ist, und
> umgekehrt ist jegliches charakteristisches Polynom einer
> Matrix ebenfalls in [mm]\IP_{n}(\IC)[/mm] enthalten?
> Für die Teilmengen mit (Polynome mit unterschiedlichen
> Linearfaktoren) würde ich ebenfalls so argumentieren.
Ja. Und: ja und? Nur weil das gilt, was du gesagt hast, gilt noch lange nicht, dass die eine Dichtheit die andere impliziert - das ist ja erstmal eine topologische Aussage.
SEcki
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:42 Do 03.05.2012 | | Autor: | Gedro |
Achso, die Äquivalenz der Dichtheit war gemeint. Hmm... ja das stimmt, damit komme ich wohl auch nicht weiter.
Na toll, jetzt stehe ich wieder aufm Schlauch. Ich weiss sonst nichts über Matrizen und deren Eigenwerte. So macht Mathe wirklich keinen Spaß. :/
Wie könnte ich die Aufgaben denn sonst angehen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:23 Do 03.05.2012 | | Autor: | SEcki |
> Wie könnte ich die Aufgaben denn sonst angehen?
Also erstmal_ ich sage ja nicht, dass es falsch ist - aber ich sehe auch keine Begründung, warum es so sein sollte.
Sagt dir die Jordan-Normalform etwas? Dann würde ich versuchen, die JNF einer Matrix durch Matrizen mit paarweise verschiedenen EW zu approximieren. Und dann begründen, warum das reicht.
SEcki
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