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Dichte: Bitte um Kontrolle
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:08 Mi 20.07.2005
Autor: BeniMuller

Nix rumgepostet.

Probe-Prüfung Stochastik Uni Zürich Aufgabe 3


Aufgabe:
Eine Zufallsgrösse nimmt nur Werte auf dem Intervall [0, 1] an.

Die Dichte ist dort:

[mm] f (x)= K5x^4 \ \ \ [/mm]

mit einer Normierungskonstanten K.


a. Berechnen Sie K.

b. Berechnen Sie den Erwartungswert dieser Zufallsgrösse.

c. Berechnen Sie die Varianz dieser Zufallsgrösse.

d. Berechnen Sie die Verteilfunktion dieser Zufallsgrösse.


Meine Lösungen:


a. Berechnung der Normierungskonstante  K

Die Dichte etwas präziser geschrieben :

[mm] f(x)=\begin{cases} K*5*x^4, & \mbox{wenn }0 \le \ x \ \le 1 \\ 0, & \mbox{sonst } \mbox{} \end{cases} [/mm]

Das Integral der Dichtefunktion muss 1 sein.

[mm] \integral_{- \infty}^{\infty} {K5x^4 \ dx} \ = \ \integral_{0}^{1} {K5x^4 \ dx} \ = \ K * \integral_{0}^{1} {5x^4 \ dx} \ = \ 1 [/mm]


Da bereits
[mm] \integral_{0}^{1} {5x^4 \ dx} \ = \ 1 [/mm]

ist in der Folge auch

[mm] \underline{K \ = \ 1} [/mm]


b. Berechnung des Erwartungswertes dieser Zufallsgrösse

[mm]\mu \ = \ E(x) \ = \ \integral_{- \infty}^{\infty} {x*f(x) dx} \ = \ \integral_{0}^{1} {x*K5x^4 \ dx} \ = \ \integral_{0}^{1} {5x^5 \ dx} \ = \ \bruch{5}{6} \ = \ \underline{0.8333...} [/mm]


c.  Berechnung der Varianz dieser Zufallsgrösse

[mm]\sigma^2 \ = \ V(x) \ = \ \integral_{- \infty}^{\infty} {(x \ - \ \mu)^2 \ * f(x) dx} \ = \ \integral_{0}^{1} {(x \ - \ \integral_{0}^{1}{5x^5 dx} )^2 \ * \ 5x^4 \ dx} \ = \ \bruch{5}{252} \ = \ \underline{0.01984}[/mm]


d.  Berechnung der Verteilungsfunktion dieser Zufallsgrösse

[mm] F(X) \ = \ P[X \ \le \ x] \ = \ \integral_{- \infty}^{x}{f(t) dt} \ = \ \integral_{- \infty}^{x}{K5t^4 dt} \ = \ \integral_{0}^{x}{5t^4 dt} \ = \ \underline{x^5} [/mm]

Eine nette Mathematikerin oder ein netter Mathematiker möge prüfen, ob sich da nicht ein Fehler eingeschlichen hat.

Dank und Grüsse aus Zürich




        
Bezug
Dichte: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:28 Mi 20.07.2005
Autor: Stefan

Hallo Beni!

Es ist alles in Ordnung, du hast perekt gerechnet! [daumenhoch]

Hier nur eine kleine unbedeutende Anmerkung:

[mm] F(X) \ = \ P[X \ \le \ x] \ = \ \integral_{- \infty}^{x}{f(t) dt} \ = \ \int\limits_{{\red{- \infty}}}^x{K5t^4 dt} \ = \ \integral_{0}^{x}{5t^4 dt} \ = \ \underline{x^5}[/mm]

Statt [mm] $\red{-\infty}$ [/mm] müsste dort bereits [mm] $\green{0}$ [/mm] stehen.

> Eine nette Mathematikerin oder ein netter Mathematiker möge
> prüfen, ob sich da nicht ein Fehler eingeschlichen hat.

Immer diese Einschränkungen. ;-)

Liebe Grüße
Stefan

Bezug
                
Bezug
Dichte: Besten Dank
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:41 So 24.07.2005
Autor: BeniMuller

Hallo Stefan

Das Integral macht tatsächlich nur ab Null einen Sinn.
War kein Denk- sondern schlichte ein Tippfehler.

Dank und Gruss

Bezug
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