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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:40 Sa 28.05.2011 | | Autor: | Frisco |
| Aufgabe | [mm]X_{1}, X_{2}[/mm] std. normalverteilt und unabhängig mit Dichte [mm]f_{x_{i}}(x_{i})=\bruch{1}{\wurzel{2\pi}} exp(-\bruch{x_{i}^2}{2})[/mm]
Berechne gemeinsame Dichte von [mm]Y=\vektor{y_{1} \\
y_{2}}:=\vektor{x_{1}+x_{2} \\
x_{1}-x_{2}}[/mm] |
Hallo ich habe die Aufgabe soweit gelöst, bitte korrigiert doch meine Rechnung ob ich alles richtig gemacht habe! 
Um diese Aufgabe zu lösen habe ich den Trafo.-Satz verwendet
Dazu sei [mm]X:=(0,\infty)^2 ; Y:=(0,\infty)\textrm{x}(-\infty,\infty) \textrm{offen}[/mm]
[mm]\Phi:X\rightarrow Y; \Phi(x_{1},x_{2})=(x_{1}+x_{2},x_{1}-x_{2})=:(y_{1},y_{2}) \textrm{bijektiv}[/mm]
[mm]\Rightarrow (\Phi^{-1})(y_{1},y_{2})=(\bruch{1}{2}(y_{1}+y_{2}),\bruch{1}{2}(y_{1}-y_{2}))
[/mm]
weiter erhalte ich von der det. der Jacobi Matrix
[mm]\Rightarrow| \textrm{det}(\Phi^{-1})'(y_{1},y_{2})|=\bruch{1}{2}[/mm]
Nach dem Trafo.-Satz gilt doch dann für die gemeinsame Dichte von [mm]Y[/mm]
[mm]f_{Y}(y_{1},y_{2})=f_{x_{1},x_{2}}((\Phi^{-1})(y_{1},y_{2}))*| \textrm{det}(\Phi^{-1})'(y_{1},y_{2})|[/mm]
[mm]\Rightarrow f_{Y}(y_{1},y_{2})= \bruch{1}{\wurzel{2\pi}} exp[-\bruch{1}{2}(\bruch{1}{2}(y_{1}+y_{2})+\bruch{1}{2}(y_{1}-y_{2}))^2]*\bruch{1}{2}=...=\bruch{1}{2\wurzel{2\pi}}exp[-\bruch{1}{2}y^2_{1}][/mm]
Ich hoffe das stimmt was ich ausgerechnet habe?!
Danke für eure Hilfe/Korrektur
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Hallo Frisco,
> [mm]X_{1}, X_{2}[/mm] std. normalverteilt und unabhängig mit Dichte
> [mm]f_{x_{i}}(x_{i})=\bruch{1}{\wurzel{2\pi}} exp(-\bruch{x_{i}^2}{2})[/mm]
>
> Berechne gemeinsame Dichte von [mm]Y=\vektor{y_{1} \\
y_{2}}:=\vektor{x_{1}+x_{2} \\
x_{1}-x_{2}}[/mm]
>
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> Hallo ich habe die Aufgabe soweit gelöst, bitte korrigiert
> doch meine Rechnung ob ich alles richtig gemacht habe!
> Um diese Aufgabe zu lösen habe ich den Trafo.-Satz
> verwendet
> Dazu sei [mm]X:=(0,\infty)^2 ; Y:=(0,\infty)\textrm{x}(-\infty,\infty) \textrm{offen}[/mm]
>
> [mm]\Phi:X\rightarrow Y; \Phi(x_{1},x_{2})=(x_{1}+x_{2},x_{1}-x_{2})=:(y_{1},y_{2}) \textrm{bijektiv}[/mm]
>
>
> [mm]\Rightarrow (\Phi^{-1})(y_{1},y_{2})=(\bruch{1}{2}(y_{1}+y_{2}),\bruch{1}{2}(y_{1}-y_{2}))
[/mm]
>
> weiter erhalte ich von der det. der Jacobi Matrix
>
> [mm]\Rightarrow| \textrm{det}(\Phi^{-1})'(y_{1},y_{2})|=\bruch{1}{2}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Nach dem Trafo.-Satz gilt doch dann für die gemeinsame
> Dichte von [mm]Y[/mm]
>
> [mm]f_{Y}(y_{1},y_{2})=f_{x_{1},x_{2}}((\Phi^{-1})(y_{1},y_{2}))*| \textrm{det}(\Phi^{-1})'(y_{1},y_{2})|[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow f_{Y}(y_{1},y_{2})= \bruch{1}{\wurzel{2\pi}} exp[-\bruch{1}{2}(\bruch{1}{2}(y_{1}+y_{2})+\bruch{1}{2}(y_{1}-y_{2}))^2]*\bruch{1}{2}=...=\bruch{1}{2\wurzel{2\pi}}exp[-\bruch{1}{2}y^2_{1}][/mm]
Hier muß es doch lauten:
[mm]f_{Y}(y_{1},y_{2})= \bruch{1}{\wurzel{{\left(2\pi\right)^{\red{2}}}}} exp[-\bruch{1}{2} ( \ \left\blue{(} \ \bruch{1}{2}(y_{1}+y_{2}) \ \right\blue{)}^{2}+\left\blue{(} \ \bruch{1}{2}(y_{1}-y_{2}) \ \right\blue{)}^2 \ )]*\bruch{1}{2}[/mm]
>
> Ich hoffe das stimmt was ich ausgerechnet habe?!
>
> Danke für eure Hilfe/Korrektur
>
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:27 Sa 28.05.2011 | | Autor: | Frisco |
Ohhhh da habe ich wohl was übersehen 
Öhm aber woher kommt das Quadrat unter der Wurzel als das [mm]\bruch{1}{\wurzel{(2\pi})^\red{2}}[/mm]?!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:29 Sa 28.05.2011 | | Autor: | Frisco |
Ohhhh da habe ich wohl was übersehen
Öhm aber woher kommt das Quadrat unter der Wurzel als das [mm] \bruch{1}{\wurzel{(2\pi})^\red{2}} [/mm]?!
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Hallo Frisco,
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> Ohhhh da habe ich wohl was übersehen
> Öhm aber woher kommt das Quadrat unter der Wurzel als das
> [mm]\bruch{1}{\wurzel{(2\pi})^\red{2}} [/mm]?!
>
Siehe hier: ![[]](/images/popup.gif) p-dimensionale Standardnormalverteilung
Gruss
MathePower
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 19:18 Sa 28.05.2011 | | Autor: | Frisco |
Oh stimmt ich habe den Fehler gesehen...
Nun ich weiß nicht, aber in meiner Rechnung ist noch ein Fehler,
wenn ich so weiter rechne wie du dann komme ich auf folgendes:
[mm]\bruch{1}{2\pi}exp[-\bruch{1}{2}(\bruch{1}{4}((y_{1}+y_{2})^2+(y_{1}-y_{2})^2))] \textrm{ mit Binomischer Formel folgt}[/mm]
[mm]=\bruch{1}{2\pi}exp[-\bruch{1}{2}(\bruch{1}{4}(2y^2_{1}+2y^2_{2}))]=\bruch{1}{2\pi}exp[-\bruch{1}{4}(y^2_{1}+y^2_{2})][/mm]
aber es darf nicht[mm]-\bruch{1}{4} \textrm{ sondern es muss doch } -\bruch{1}{2}\textrm{ heißen?!}[/mm]
also [mm]\bruch{1}{2\pi}exp[-\bruch{1}{2}(y^2_{1}+y^2_{2})][/mm] dieses ist nach meinem Buch richtig...
Siehtst du meinen Fehler?!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:20 Mo 30.05.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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