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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 04:24 Di 04.01.2011 | | Autor: | lexjou |
| Aufgabe | Gegeben ist der Vektorraum der reellen 2x2 Diagonalmatrizen
[mm] V=\{\pmat{ a & 0 \\ 0 & b }| a, b \in \IR \} [/mm] ,
eine lineare Abbildung L: V [mm] \to [/mm] V und die darstellende Matrix [mm] L_{B} [/mm] bezüglich einer Basis [mm] B={B_{1}, ..., B_{n}}.
[/mm]
L und [mm] L_{B} [/mm] sind im Aufgabenteil des Applets konkret gegeben.
Gebe ich weiter unten an!
Geben Sie die Anzahl n der Elemente in der Basis B an und bestimmen Sie anschließend:
[mm] K_{B}(B_{i}), L_{B}(K_{B}(B_{i})) [/mm] sowie [mm] K_{B}^{-1}(L_{B}(K_{B}(B_{i}))) [/mm] als Linearkombination der Basiselemente für alle [mm] B_{i} [/mm] (i=1, ..., n).
Bestimmen Sie B.
(Hinweis: B ist nicht unbedingt eindeutig. D.h., es gibt unter Umständen mehr als eine mögliche Lösung.)
Nun noch die im Applet gegebenen Angaben:
L: V [mm] \to [/mm] V
[mm] \vmat{ a & 0 \\ 0 & b } \mapsto \vmat{ a-5b & 0 \\ 0 & 6b}
[/mm]
[mm] L_{B}=\vmat{ 6 & 5 \\ 0 & 1} [/mm] |
Also hier scheitert es bei mir eigentlich daran, dass ich nicht weiß, wie ich anfangen soll! Wenn ich erstmal den Anfang habe, dann weiß ich auch wie ich weiter machen soll(te).
Die Anzahl der Elemente in einer Basis B bei 2x2-Diagonalmatrizen ist doch 2, oder? Weil ich hab ja auch nur a und b, bei denen sich der Wert ändern kann. Null bleibt Null, egal wie und was ich mache! Es ist ja nun mal solch eine Matrize!
Die Anzahl kann ich also gleich angeben. Aber BESTIMMEN tu ich die Basiselemente nicht einfach so, oder? Natürlich ist der Hinweis schon in die Richtung, dass ich zwei lin. unabhängige Diagonalmatrizen verwende... Aber was mich irritiert ist, dass die Spalten der darstellenden Matrix doch eigentlich aus den Koeffizienten der Linearkombination der (Bilder der (???) ) Basiselemente bestehen.
Und die darstellende Matrix ist ja gegeben.
Soll ich jetzt also die Basiselemente ermitteln, indem ich z.B. [mm] 6*\vmat{ a-5b & 0 \\ 0 & 6b}+0*\vmat{ a-5b & 0 \\ 0 & 6b} [/mm] und das ist dann der erste Basisvektor?
Weil ja die Aufgabenstellung "Bestimmen Sie B!" auch ganz am Ende stand...
Oder soll ich mir zwei Basiselemente wählen - zum Beispiel [mm] \vmat{ 1 & 0 \\ 0 & -1} [/mm] und [mm] \vmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1} [/mm] - und dann erstmal den Koordinatenvektor bestimmen?
Wäre über eine Hilfestellung sehr dankbar!
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> Gegeben ist der Vektorraum der reellen 2x2
> Diagonalmatrizen
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> [mm]V=\{\pmat{ a & 0 \\
0 & b }| a, b \in \IR \}[/mm] ,
>
> eine lineare Abbildung L: V [mm]\to[/mm] V und die darstellende
> Matrix [mm]L_{B}[/mm] bezüglich einer Basis [mm]B={B_{1}, ..., B_{n}}.[/mm]
>
> L und [mm]L_{B}[/mm] sind im Aufgabenteil des Applets konkret
> gegeben.
> Gebe ich weiter unten an!
>
> Geben Sie die Anzahl n der Elemente in der Basis B an und
> bestimmen Sie anschließend:
>
> [mm]K_{B}(B_{i}), L_{B}(K_{B}(B_{i}))[/mm] sowie
> [mm]K_{B}^{-1}(L_{B}(K_{B}(B_{i})))[/mm] als Linearkombination der
> Basiselemente für alle [mm]B_{i}[/mm] (i=1, ..., n).
>
> Bestimmen Sie B.
>
>
> (Hinweis: B ist nicht unbedingt eindeutig. D.h., es gibt
> unter Umständen mehr als eine mögliche Lösung.)
>
>
> Nun noch die im Applet gegebenen Angaben:
>
>
> L: V [mm]\to[/mm] V
>
> [mm]\vmat{ a & 0 \\
0 & b } \mapsto \vmat{ a-5b & 0 \\
0 & 6b}[/mm]
>
> [mm]L_{B}=\vmat{ 6 & 5 \\
0 & 1}[/mm]
> Also hier scheitert es bei
> mir eigentlich daran, dass ich nicht weiß, wie ich
> anfangen soll! Wenn ich erstmal den Anfang habe, dann weiß
> ich auch wie ich weiter machen soll(te).
>
> Die Anzahl der Elemente in einer Basis B bei
> 2x2-Diagonalmatrizen ist doch 2, oder?
Hallo,
ja.
> Weil ich hab ja auch
> nur a und b, bei denen sich der Wert ändern kann. Null
> bleibt Null, egal wie und was ich mache! Es ist ja nun mal
> solch eine Matrize!
Nein: es ist keine Matrize. Es ist eine Matrix.
>
> Die Anzahl kann ich also gleich angeben. Aber BESTIMMEN tu
> ich die Basiselemente nicht einfach so, oder?
K.A. Was meinst Du mit "einfach so"?
Du weißt, daß die Basis B aus zwei Matrizen [mm] B_1 [/mm] und [mm] B_2 [/mm] besteht.
Ohne genau zu wissen, wie diese aussehen, kann man den ersten Arbeitsauftrag erfüllen.
Zur Bestimmung von [mm] B_1 [/mm] und [mm] B_2 [/mm] mach Dir klar, daß [mm] B_1 [/mm] ein Eigenvektor zum Eigenwert 6 ist.
Sei nun [mm] B_2 [/mm] von der Gestalt [mm] \pmat{a&0\\0&b}.
[/mm]
Du kennst aus der Abbildungsvorschrift [mm] L(B_2)= [/mm] ...
Gleichzeitig entnimmst Du der Darstellungsmatrix, daß [mm] L(B_2)=5B_1+B_2.
[/mm]
Dies liefert Dir ein Gleichungssystem, mit welchem Du passende a und b bestimmen kannst.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:43 Di 04.01.2011 | | Autor: | lexjou |
Hallo Angela,
erstmal wünsche ich auch Dir ein gesundes und erfolgreiches neues Jahr, sowie auch allen Anderen in diesem Forum!
Vielen Dank für Deine Antwort! Ich freue mich immer sehr, wenn Du mir die Aufgaben erklärtst! :)
Dadurch muss ich selbst überlegen und bekomme aber immer den perfekten Hinweis! :)
Also mit "einfach so" meinte ich genau das, was Du gleich danach geschrieben hast: Ich weiß aus [mm] L_{B}, [/mm] dass die erste Basis-Matrize (das meinte ich im Übrigen auch eigentlich in der Fragestellung... selbstverständlichist es keine Matrix!!) einen Eigenvektor von 6 hat.
Nun werde ich mich nochmal hinsetzen und mal wieder ein bisschen rechnen, denn ich hab das Item "Eigenvektoren" in der Mumie total übersehen! Wahrscheinlich war mir deshalb auch die Vorgehensweise noch unklar!
Ich denke, ich werde noch heute eine weitere Frage posten :)
Aber bis jetzt: vielen Dank!!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:31 Mi 05.01.2011 | | Autor: | lexjou |
So... jetzt hab ich lange genug gesucht und geguckt... ich finde das Applet in der Mumie nicht mehr. Ich habe keine Ahnung, wo ich das mal entdeckt hatte.
Habe mich jetzt über Wikipedia und mit meinem Büchlein "schlau" gemacht. Aber ich kann nicht sagen, dass das von Erfolg war!
Ich habe ein kleines Verständnisproblem... mal wieder...
Also erstmal: sind bei Diagonalmatrizen die Koordinatenvektoren die Eigenvektoren?
Ich weiß nicht, wie ich darauf gekommen bin, aber irgendwo stand irgendwas, was mich durcheinander gebracht hat. Aber muss ja so sein, wenn Du (Angela) schreibst, dass [mm] B_{1} [/mm] ein Eigenvektor mit Eigenwert 6 ist.
Das bringt mich gleich zur nächsten Frage: [mm] B_{1} [/mm] ist ein Vektor zum Eigenwert 6.
Was genau heißt das?
Also ich will kurz erklären, warum ich diese Frage stelle: ich habe gelesen, dass Eigenvektoren Vektoren einer Abbildung sind. Das gilt wahrscheinlich, wenn es keine Diagonalmatrizen sind, oder? Also wenn der Koordinatenvektor nicht der Eigenvektor ist.
Also beziehe ich mich nicht auf das Abbild ( [mm] \vmat{a-5b & 0 \\ 0 & 6b} [/mm] ) sondern auf die Matrize! Also auf [mm] \vmat{ a & 0 \\ 0 & b } [/mm] oder?
Und dann der "Eigenwert 6"... teile ich diese Matrize [mm] \vmat{a & 0 \\ 0 & b} [/mm] durch 6? Oder multipliziere ich sie mit 6?
Und die nächste Frage:
warum ist [mm] B_{2}=\vmat{a & 0 \\ 0 & b} [/mm] ? Du entnimmst doch die Eigenwerte aus der gegebenen darstellenden Matrize [mm] \vmat{6 & 5 \\ 0 & 1} [/mm] . Ist [mm] B_{2}=\vmat{ a & 0 \\ 0 & b } [/mm] weil in [mm] L_{B} [/mm] an der Stelle b eine 1 steht?
Oder geht man doch vom Abbild aus und dann ist [mm] B_{2}=5*\vmat{a-5b & 0 \\ 0 & 6b}+1*\vmat{a-5b & 0 \\ 0 & 6b} [/mm] ?
Und deshalb dann auch [mm] B_{1} [/mm] mit Eigentwert 6, weil in der zweiten Zeile der ersten Spalte eine 0 steht?
Also das ist was, was mich grad echt noch verwirrt...
Könnte mich jemand aufklären??? Bitte!!??
Danke!
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> Ich habe ein kleines Verständnisproblem... mal wieder...
Hallo,
ich fürchte fast, daß es einige Lücken gibt.
Aber mal vorweg: sag' nie wieder "Matrize", jedenfalls nicht zu den Dingern, mit denen wir hier zu tun haben. Sie heißen "Matrix". Eine Matrix, viele Matrizen. Eine Matrize ist etwas anderes.
Eigenvektoren einer Abbildung sind die Vektoren, die unter der Abbildung (hier:L) auf ein Vielfaches von sich selbst abgebildet werden.
Aber wir müssen uns hier gar nicht so mit dem Begriff "Eigenvektor" aufhalten.
Es ging ja darum, herauszufinden, für welche Basis B die Darstellungsmatrix der Abbildung L gerade die gegebene Matrix [mm] L_B [/mm] ist.
Die kanonische Basis [mm] (\pmat{1&0\\0&0}, \pmat{0&0\\0&1}) [/mm] ist's ja schonmal nicht. (Du kannst Dir ja mal überlegen, wie für diese Basis die Darstellungsmatrix von L aussieht.)
Ich habe mir nun [mm] L_B [/mm] angeguckt.
Ich habe gelernt und mir gemerkt: "In den Spalten von [mm] L_B [/mm] stehen die Bilder der Basisvektoren von B in Koordinaten bzgl. B."
Aha.
Das sagt mir: in der ersten Spalte von [mm] L_B [/mm] (wobei [mm] B:=(B_1, B_2)) [/mm] steht das Bild von [mm] B_1, [/mm] also [mm] L(B_1) [/mm] in Koordinaten bzgl. B.
In der ersten Spalte steht [mm] \vektor{6\\0}. [/mm] Also ist [mm] L(B_1)=6*B_1+0*B_2.
[/mm]
(Also ist [mm] L(B_1) [/mm] das 6-fache von [mm] B_1. [/mm] Das meinte ich mit "Eigenvektor".)
Ebenso kann ich etwas über das Bild von [mm] B_2 [/mm] erfahren.
> Und die nächste Frage:
> warum ist [mm]B_{2}=\vmat{a & 0 \\
0 & b}[/mm] ?
Weil wir nur Diagonalmatrizen betrachten, sind natürlich jegliche Basisvektoren des Raumes auch Diagonalmatrizen.
[mm] B_2 [/mm] habe ich einfach als bisher unbekannte Diagonalmatrix angesetzt, und aus der 2.Spalte der gegebenen Darstellungsmatrix erfahre ich, worauf die gesuchte Matrix [mm] B_2 [/mm] unter L abgebildet wird. Nämlich?
Häng Dich nicht am Eigenvektorbegriff auf - er ist hier nicht so wichtig, auch wenn ein Eigenvektor vorkommt.
Begriffe, die ggf. nachzuarbeiten sind, sind "Koordinatenvektoren bzgl. einer gegebenen Basis" und "Darstellungsmatrizen bzgl einer gegebenen Matrix".
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 05:03 Do 06.01.2011 | | Autor: | lexjou |
Jetzt verstehe ich es!!!! Also manchmal ist das doch echt merkwürdig. Von "vorne nach hinten" rechnen kann ich es wunderbar und wenn ich "hinten" anfange, weiß ich nicht mehr was ich gemacht habe!!
Die Hausaufgaben waren genau anders herum und am Ende sollten wir die darstellenden Matrizen berechnen. Alles überhaupt kein Problem gewesen und hab auch alles richtig gehabt. Aber ich bin echt die ganze Zeit nicht drauf gekommen, dass es das Gleiche ist wie in den Hausaufgaben. Nur halt von hinten aufgeräufelt!
Man das ist mir ja jetzt schon echt peinlich!!
Danke Angela für Deine Hilfe!
Du wirst mit Sicherheit noch viele solcher Fragen von mir lesen, die eigentlich völlig simpel sind. Aber ich brauch dann nur den entsprechenden Hinweis! :)
Jetzt hab ich es gerafft! Danke!!
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