Diagonalmatrix aus Eigenvektor < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei [mm] \psi [/mm] der Endomorphismus [mm] \psi: \rightarrow [/mm] M [mm] \cdot [/mm] v des [mm] \mathrm{R}^3 [/mm] mit der reellen Matrix:
[mm] M=\pmat{4&\frac{1}{2}&-2\\-2&4&0\\-1&\frac{1}{2}&3}
[/mm]
a) Bestimmen Sie das charakteristische Polynom und das Minimalpolynom von [mm] \psi.
[/mm]
b) Bestimmen Sie Basen der Eigenräume von [mm] \psi.
[/mm]
c) Bestimmen Sie, ob [mm] \psi [/mm] eine Darstellungsmatrix D in Diagonalgestalt und/oder obere Dreiecksgestalt besitzt, und geben Sie ggf. eine reguläre Matrix U mit [mm] U^{-1}MU=D. [/mm] |
Hallo,
also laut WA habe ich meine Eigenwerte [mm] \lambda_1 [/mm] = 5 und [mm] \lambda_2,\lambda_3=3 [/mm] korrekt mithilfe des charakteristischen Polynoms bestimmt.
Die Eigenvektoren laut WA sind
[mm] \pmat{-1\\2\\1} [/mm] sowie [mm] \pmat{1\\2\\1}.
[/mm]
Diese habe ich auch errechnet.
Also ist mit
[mm] E_M(3)=\{ t \cdot \pmat{-1\\2\\1} \vert t \in \mathbb{R} \}
[/mm]
bzw.
[mm] E_M(5)=\{ t \cdot \pmat{1\\2\\1}\vert t \in \mathbb{R} \}
[/mm]
auch Aufgabe b) abgeschlossen.
Nun meine eigentliche Frage:
Normalerweise habe ich jetzt die Eigenwerte auf eine Diagonalmatrix geschrieben, also
[mm] A=\pmat{3&0&0\\0&3&0\\0&0&5}
[/mm]
Entsprechend die Eigenvektoren als Spalten eine Matrix geschrieben
[mm] U=\pmat{-1&-1&1\\2&2&2\\1&1&1}
[/mm]
damit [mm] U^{-1} [/mm] berechnet und anschließend über [mm] U^{-1}\cdot [/mm] M [mm] \cdot [/mm] U= D die Diagonalmatrix ausgerechnet.
Soweit so gut, funktioniert hier aber nicht, da die Matrix U nicht aus linear unabhängigen Vektoren besteht. Bei WA kommt für diese Matrix
[mm] U=\pmat{1&0&-1\\2&2&2\\1&0&1}
[/mm]
raus. Von unterschiedlicher Sortierung abgesehen ist aber der zweite Eigenvektor zu [mm] \lambda_2 [/mm] bzw. [mm] \lambda_3 [/mm] eben [mm] \pmat{0\\2\\0}. [/mm] Darauf komme ich aber beim besten Willen nicht.
Darüberhinaus ist die Matrix A resp. spätere Diagonalmatrix bei WA wie folgt aufgeschrieben:
[mm] A=\pmat{3&1&0\\0&3&0\\0&0&5}.
[/mm]
Gehe ich hier richtig in der Annahme, dass es hier einfache Jordanblöcke sind und daher die 1 kommt?
Wäre super wenn mir jemand einen Tipp bzgl. der Vektoren geben könnte.
Bei Bedarf tippe ich gerne die Matrix für [mm] \lambda_{2/3} [/mm] ab. Aber vielleicht mache ich es mir auch unnötig schwer und könnte direkt über die algebraische und geometrische Vielfachheit und Jordanform argumentieren, dass
[mm] A=\pmat{3&1&0\\0&3&0\\0&0&5}
[/mm]
bereits die Diagonalmatrix ist?
Viele Grüße und vielen Dank
Obligatorisch gilt natürlich:
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:21 Di 01.11.2016 | | Autor: | Jule2 |
Hi!
Wenn du richtig gerechnet hast was ich nicht nachgeprüft habe, dann gibt es meines Erachtens nach keine Diagonalmatrix, da die geometrischen und algebraischen Vielflachheiten des doppelten Eigenwertes [mm] \lambda_2,\lambda_3=3 [/mm] nicht übereinstimmen!
LG
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