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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:31 So 23.09.2007 | | Autor: | fuchsone |
| Aufgabe | Bestimme die diagonalbasis
wenn A= [mm] \pmat{ 3 & -1 & 2 \\ 2 & 0 & 6 \\ 0 & 0 & 3} [/mm] |
als eigenwerte erhalte ich
[mm] \lambda [/mm] 1 = 1 [mm] \lambda [/mm] 2 =2 [mm] \lambda [/mm] 3 = 3
und als eigenräume [mm] \vektor{ 1 \\ 2 \\ 0 } \vektor{ 1 \\ 1 \\ 0 } \vektor{ 0 \\ 2 \\ 1 } [/mm]
es gilt [mm] D=S\*A\*S^{-1}
[/mm]
S ist bei mir [mm] \pmat{ 1 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1}
[/mm]
[mm] S^{-1} [/mm] = [mm] \pmat{ -1 & 1 & -2 \\ 2 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & 1}
[/mm]
nun bekomme aber keine diagonalmatrix raus
aber ich finde keinen fehler
kann mir jemand helfen
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Hallo fuchsone,
> Bestimme die diagonalbasis
>
> wenn A= [mm]\pmat{ 3 & -1 & 2 \\ 2 & 0 & 6 \\ 0 & 0 & 3}[/mm]
> als
> eigenwerte erhalte ich
>
> [mm]\lambda[/mm] 1 = 1 [mm]\lambda[/mm] 2 =2 [mm]\lambda[/mm] 3 = 3
>
> und als eigenräume [mm]\vektor{ 1 \\ 2 \\ 0 } \vektor{ 1 \\ 1 \\ 0 } \vektor{ 0 \\ 2 \\ 1 }[/mm]
Ui, das sind EigenVEKTOREN, Eigenräume sind der Spann derselben..
Du hast bei deiner Rechnung $S$ und [mm] $S^{-1}$ [/mm] vertauscht.
Da $A$ diagonalisierbar ist, gilt die Ähnlichkeitsbeziehung [mm] $A=S^{-1}DS$
[/mm]
Hier ist [mm] $S^{-1}$ [/mm] diejenige Matrix, deren Spalten die Eigenvektoren sind.
Also gilt [mm] $D=SAS^{-1}$ [/mm] , also alles mit vertauschten "Farben"
Rechne mal nach, es passt 
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:10 So 23.09.2007 | | Autor: | fuchsone |
sorry ich habs jetzt^^
hab mich verrechnet danke es haut hin
frage somit zurückgezogen!!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:59 So 23.09.2007 | | Autor: | fuchsone |
sorry ich finde immernoch keine lösung
wenn jetzt mein [mm] S^{-1} [/mm] mein S ist dann
ist doch [mm] S^{-1}\ [/mm] * I = S
wenn ich dann D = [mm] SAS^{-1} [/mm] rechen erhalt ich immernoch die falsche Matrix
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:15 So 23.09.2007 | | Autor: | barsch |
Hi,
du hast S und [mm] S^{-1} [/mm] richtig berechnet. Wie schachuzipus geschrieben hat, hast du lediglich S und [mm] S^{-1} [/mm] vertauscht.
Das heißt, du musst [mm] D=S^{-1}*A*S [/mm] berechnen:
[mm] S^{-1}=\pmat{ -1 & 1 & -2 \\ 2 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & 1} [/mm]
[mm] S=\pmat{ 1 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1} [/mm]
[mm] S^{-1}*A=\pmat{ -1 & 1 & -2 \\ 2 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & 1}*\pmat{ 3 & -1 & 2 \\ 2 & 0 & 6 \\ 0 & 0 & 3}=\pmat{ -1 & 1 & -2 \\ 4 & -2 & 4 \\ 0 & 0 & 3}
[/mm]
[mm] D=S^{-1}*A*S=\pmat{ -1 & 1 & -2 \\ 4 & -2 & 4 \\ 0 & 0 & 3}*\pmat{ 1 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1} =\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3}
[/mm]
MfG barsch
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Hallo fuchsone!
Du mußt D=S^-1*A*S berechnen.
Es kommt dann eine Diagonalmatrix heraus.
Hoffe,daß ich helfen konnte.
Grüße Martha.
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