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| Aufgabe | | Bestimme die n-fache Potenz der Matrix M= [mm] \pmat{ 1-c & c \\ 1-c & c } [/mm] |
Ansatz: Diagonalisieren: M [mm] =T*D*T^{-1 }
[/mm]
Zunächst bestimme ich also die Eigenwerte (1 und 0) mittels det(M - [mm] \lambda [/mm] E) = 0
Dann die Eigenvektoren via (M - [mm] \lambda [/mm] E)*x = 0.
[mm] \vektor{1 \\ 1} [/mm] , [mm] \vektor{\bruch{c}{c-1} \\ 1}
[/mm]
Somit ist
T = [mm] \pmat{ 1 & \bruch{c}{c-1} \\ 1 & 1 }
[/mm]
[mm] T^{-1} [/mm] = [mm] \pmat{ c-1 & 1-c \\ 1-c & c }
[/mm]
[mm] T^{-1}*T [/mm] ist E, so wie es sein soll.
D = [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 } [/mm] (Eigenwerte auf der Diagonalen)
Nun ergibt [mm] T*D*T^{-1} [/mm] aber nicht M, wie es sein sollte sondern [mm] \pmat{ c & 0 \\ 1-c & 0 }
[/mm]
Ich habe das ganze von neuem gerechnet und komme zum gleichen Ergebnis....
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 03:10 Do 13.01.2011 | | Autor: | Walde |
hi wwf...,
> Bestimme die n-fache Potenz der Matrix M= [mm]\pmat{ 1-c & c \\ 1-c & c }[/mm]
>
> Ansatz: Diagonalisieren: M [mm]=T*D*T^{-1 }[/mm]
>
> Zunächst bestimme ich also die Eigenwerte (1 und 0)
> mittels det(M - [mm]\lambda[/mm] E) = 0
>
> Dann die Eigenvektoren via (M - [mm]\lambda[/mm] E)*x = 0.
>
> [mm]\vektor{1 \\ 1}[/mm] , [mm]\vektor{\bruch{c}{c-1} \\ 1}[/mm]
>
> Somit ist
>
> T = [mm]\pmat{ 1 & \bruch{c}{c-1} \\ 1 & 1 }[/mm]
>
> [mm]T^{-1}[/mm] = [mm]\pmat{ c-1 & 1-c \\ 1-c & c }[/mm]
>
> [mm]T^{-1}*T[/mm] ist E, so wie es sein soll.
Ich krieg nicht E, sondern [mm] \pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 0 } [/mm] raus...
>
> D = [mm]\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 }[/mm] (Eigenwerte auf der
> Diagonalen)
>
> Nun ergibt [mm]T*D*T^{-1}[/mm] aber nicht M, wie es sein sollte
> sondern [mm]\pmat{ c & 0 \\ 1-c & 0 }[/mm]
>
> Ich habe das ganze von neuem gerechnet und komme zum
> gleichen Ergebnis....
Wenn ich noch einen anderen Ansatz vorschlagen dürfte:
Bilde einfach mal [mm] M^2, [/mm] da dürfte dir etwas auffallen, was die Aufgabe sehr leicht macht.
LG walde
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Oh, tatsächlich. Aber wieso funktioniert der andere Ansatz nicht? sind Matrizen mit EW=0 nicht diagonalisierbar?!
Ich dachte, alle Matrizen M für die [mm] det(M-\lambda [/mm] E)=0 lösbar ist sind diagonalisierbar?!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:36 Do 13.01.2011 | | Autor: | fred97 |
> Oh, tatsächlich. Aber wieso funktioniert der andere Ansatz
> nicht?
Der funktioniert schon, ist aber in Deinem Falle umständlicher als das Potenzieren
> sind Matrizen mit EW=0 nicht diagonalisierbar?!
Natürlich können Matrizen mit dem Eigenwert 0 diagonalisierbar sein, z.B. die Nullmatrix
>
> Ich dachte, alle Matrizen M für die [mm]det(M-\lambda[/mm] E)=0
> lösbar ist sind diagonalisierbar?!
Blödsinn ! Dann wäre ja jede komplexe Matrix diagonalisierbar !
FRED
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OK dann bleibt die Frage, warum es nicht funktioniert hat? die EWs und EVs sind scheinbar richtig, WolframAlpha hat die gleichen Werte. T ist spaltenweise zusammengesetzt aus den EVs, D ist Diagonalmatrix mit den EW entlang der Hauptdiagonalen und [mm] T^{-1} [/mm] ist auch richtig, da [mm] T*T^{-1} [/mm] = E gilt ?!
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Hallo
> OK dann bleibt die Frage, warum es nicht funktioniert hat?
> die EWs und EVs sind scheinbar richtig, WolframAlpha hat
> die gleichen Werte. T ist spaltenweise zusammengesetzt aus
> den EVs, D ist Diagonalmatrix mit den EW entlang der
> Hauptdiagonalen und [mm]T^{-1}[/mm] ist auch richtig, da [mm]T*T^{-1}[/mm] =
> E gilt ?!
Nein. Dir wurde schon in einer früheren Antwort gesagt, dass [mm] $T\cdot T^{-1} \neq [/mm] E$. Vielleicht solltest du das nochmals lesen..
Du hast bei [mm] $T^{-1}$ [/mm] die Zeilen vertauscht. Mit der richtigen Matrix sollte es klappen.
Grüsse, Amaro
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Oh, das war in dem langen Quote untergegangen. tatsächlich ist T^(-1) * T != E, aber T*T^(-1) =E - dabei sollte doch T^(-1) * T = E = T*T^(-1) gelten?!
(natürlich ncht für beliebige Matriten, aber für M und M ^(-1) ?!
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Hallo,
> Oh, das war in dem langen Quote untergegangen. tatsächlich
> ist T^(-1) * T != E,
Der code für [mm]\neq[/mm] ist \neq
> aber T*T^(-1) =E ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Der Eintrag [mm]1,1[/mm] in [mm]T\cdot{}T^{-1}[/mm] ist schon [mm]\red{-}1[/mm], da kann also nicht die Einheitsmatrix herauskommen!
> - dabei sollte doch
> T^(-1) * T = E = T*T^(-1) gelten?!
Ja, sollte es, berechne die Inverse von [mm]T[/mm], also [mm]T^{-1}[/mm] nochmal richtig und schreibe die richtige Variante mal auf.
Dann siehst du, dass [mm]T\cdot{}T^{-1}=E=T^{-1}\cdot{}T[/mm] gilt.
>
> (natürlich ncht für beliebige Matriten, aber für M und M
> ^(-1) ?!
Gruß
schachuzipus
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