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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:01 Sa 10.04.2010 | | Autor: | marteen |
Hallo.
Ich habe ein paar Verständnisprobleme bezüglich der Diagonalisierung von Endomorphismen und den darstellenden Matrizen.
Sei A die darstellende Matrix eines Endomorphismus (EndV mit dimV = n) bezüglich einer beliebigen Basis, ohne Diagonalgestalt. Ich gehe im Folgenden davon aus, dass eine Basis aus Eigenvektoren von A für V existiert. Die Definition der Diagonalisierbarkeit besagt ja (so verstehe ich sie), dass diese Ähnlichkeitstransformation [mm] SAS^{-1} [/mm] quasi ein Basiswechsel ist. Der Endomorphismus bleibt also der gleiche, nur die Basis ändert sich (eben eine Basis aus Eigenvektoren). Das heißt ja somit auch, dass das charakteristische Polynom von A gleich dem charakteristischen Polynom der Diagonalmatrix ist. Was ich nicht verstehe sind die Notizen meines Professors im Skript, die er in einem Beweis macht:
F diagonalisierbar [mm] \Rightarrow P_{F} [/mm] = [mm] \pm (x-\lambda_{1}) \cdots (x-\lambda_{n}) [/mm] mit [mm] \lambda_{i} [/mm] paarweise verschieden.
Das würde ja bedeuten, dass das charakteristische Polynom keine mehrfachen Nullstellen haben darf - aber wieso soll das so sein? Kann ich keine Diagonalmatrix mit mehrfachen Eigenwerten auf der Diagonalen haben? Ich kann ja schließlich zu mehrfachen Eigenwerten manchmal auch mehrfache linear unabhängige Eigenwerte finden.
Ich weiß nur vom Minimalpolynom, dass es bei Diagonalisierbarkeit keine mehrfachen NS hat (wegen der Größe der "Jordanblöcke" in einer Diagonalmatrix, die ja keine wirklichen Jordanblöcke sind, oder gibt es dafür noch einen anderen Grund)
Hoffe mir kann jemand helfen, beiße mir an dem Thema etwas die Zähne aus.
Vlg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:35 Sa 10.04.2010 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Ich habe ein paar Verständnisprobleme bezüglich der
> Diagonalisierung von Endomorphismen und den darstellenden
> Matrizen.
>
> Sei A die darstellende Matrix eines Endomorphismus (EndV
> mit dimV = n) bezüglich einer beliebigen Basis, ohne
> Diagonalgestalt. Ich gehe im Folgenden davon aus, dass eine
> Basis aus Eigenvektoren von A für V existiert. Die
> Definition der Diagonalisierbarkeit besagt ja (so verstehe
> ich sie), dass diese Ähnlichkeitstransformation [mm]SAS^{-1}[/mm]
> quasi ein Basiswechsel ist. Der Endomorphismus bleibt also
> der gleiche, nur die Basis ändert sich (eben eine Basis
> aus Eigenvektoren). Das heißt ja somit auch, dass das
> charakteristische Polynom von A gleich dem
> charakteristischen Polynom der Diagonalmatrix ist. Was ich
> nicht verstehe sind die Notizen meines Professors im
> Skript, die er in einem Beweis macht:
>
> F diagonalisierbar [mm]\Rightarrow P_{F}[/mm] = [mm]\pm (x-\lambda_{1}) \cdots (x-\lambda_{n})[/mm]
> mit [mm]\lambda_{i}[/mm] paarweise verschieden.
>
> Das würde ja bedeuten, dass das charakteristische Polynom
> keine mehrfachen Nullstellen haben darf - aber wieso soll
> das so sein? Kann ich keine Diagonalmatrix mit mehrfachen
> Eigenwerten auf der Diagonalen haben? Ich kann ja
> schließlich zu mehrfachen Eigenwerten manchmal auch
> mehrfache linear unabhängige Eigenwerte finden.
Ich denke, dein Prof hat sich verschrieben (oder du). So stimmt die Aussage ganz bestimmt nicht! Was stimmt, ist die Rueckrichtung: sind die [mm] $\lambda_i$ [/mm] paarweise verschieden (und zerfaellt das char. Poly. in Linearfaktoren), so ist $F$ diagonalisierbar.
> Ich weiß nur vom Minimalpolynom, dass es bei
> Diagonalisierbarkeit keine mehrfachen NS hat (wegen der
> Größe der "Jordanblöcke" in einer Diagonalmatrix, die ja
> keine wirklichen Jordanblöcke sind, oder gibt es dafür
> noch einen anderen Grund)
Nein, genau das ist der Grund. Umgekehrt gilt auch: zerfaellt das Minimalpolynom in paarweise verschiedene Linearfaktoren, so ist die Matrix diagonalisierbar.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:42 Sa 10.04.2010 | | Autor: | marteen |
Vielen Dank. Nein, ich habe mich nicht verschrieben, steht genau so im Skript geschrieben (habe gestern Kommilitonen gefragt und die empfanden das ebenfalls als widersprüchlich).
Viele Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:46 Sa 10.04.2010 | | Autor: | Arcesius |
Hallo
Evtl hat er ja die Vielfachheiten vergessen:
[mm] P_{f} [/mm] = [mm] \pm(x-\lambda_{1})^{r_{1}}\cdots(x-\lambda_{n})^{r_{n}} [/mm] für [mm] \lambda_{1},...,\lambda_{n} [/mm] paarweise verschieden mit Vielfachheiten [mm] r_{1},...,r_{n}.
[/mm]
Grüsse, Amaro
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