Diagonalisierung < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
ich schreibe morgen eine Klausur in der Linearen Algebra und habe ein paar Fragen zur (unitären) Diagonalisierung bzw. dem Lemma von Schur:
1.
Eine Matrix A ^{nxn} ist ja unitär Diagonalisierbar falls gilt [mm] A^{T}*A=A*A^{T}. [/mm] Mir ist klar, dass ich zuerst die Eigenwerte und die dazugehörigen Eigenvektoren berechne und diese normiere, damit gilt,
[mm] U^{H}*A*U=diag(\lambda_{1},.....,\lambda_{n})
[/mm]
Ich habe im Skript stehen dass [mm] U^{H}=U^{-1}=\overline{U^{T}}
[/mm]
Gilt dies immer?? Ich habe ein paar Beispiele gerechnet und mit [mm] U^{-1} [/mm] hat es geklappt, jedoch mit [mm] U^{T} [/mm] nicht
2.
Ich habe eine Klausur vom Vorjahr gefunden, dort soll man entscheiden ob eine Matrix diagonalisierbar ist oder unitär diagonalisierbar. Worin besteht der Unterschied?
3.
Ich habe die Matrix [mm] \pmat{ 1 & 2i & 4 \\ -2i & 0 & -1 \\ 4 & -1 & 2 }
[/mm]
und laut Skript ist diese hermitesch. Warum?? Meiner Meinung sind 2i und -2i nicht gleich.
Ich hoffe mir kann jemand bei meinen Fragen helfen. Vielen Dank schon mal im Voraus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:12 Mi 12.08.2009 | | Autor: | Herby |
Hallo lustigerhurz,
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> 3.
> Ich habe die Matrix [mm]\pmat{ 1 & 2i & 4 \\ -2i & 0 & -1 \\ 4 & -1 & 2 }[/mm]
>
> und laut Skript ist diese hermitesch. Warum?? Meiner
> Meinung sind 2i und -2i nicht gleich.
Das muss auch so sein, denn sonst könnte ja nicht die konjugiert transponierte Matrix gleich der Orginalmatrix werden, was aber eine Eigenschaft für eine hermitesche Matrix ist.
Voraussetzung daher: Realteil symmetrisch, Imaginärteil schiefsymmetrisch
Liebe Grüße
Herby
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> Hallo,
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> ich schreibe morgen eine Klausur in der Linearen Algebra
> und habe ein paar Fragen zur (unitären) Diagonalisierung
> bzw. dem Lemma von Schur:
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> 1.
> Eine Matrix A ^{nxn} ist ja unitär Diagonalisierbar falls
> gilt [mm]A^{T}*A=A*A^{T}.[/mm] Mir ist klar, dass ich zuerst die
> Eigenwerte und die dazugehörigen Eigenvektoren berechne
> und diese normiere, damit gilt,
> [mm]U^{H}*A*U=diag(\lambda_{1},.....,\lambda_{n})[/mm]
> Ich habe im Skript stehen dass
> [mm]U^{H}=U^{-1}=\overline{U^{T}}[/mm]
> Gilt dies immer??
Hallo,
wenn U eine unitäre Matrix ist, dann ist das so.
> Ich habe ein paar Beispiele gerechnet
> und mit [mm]U^{-1}[/mm] hat es geklappt, jedoch mit [mm]U^{T}[/mm] nicht
Moment! Du mußt nicht nur transponieren, sondern auch konjugieren.
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> 2.
> Ich habe eine Klausur vom Vorjahr gefunden, dort soll man
> entscheiden ob eine Matrix diagonalisierbar ist oder
> unitär diagonalisierbar. Worin besteht der Unterschied?
Matrizen, die unitär diagonalisierbar sind, sind natürlich diagonalisierbar.
Die Besonderheit: bei unitär diagonalisierbaren Matrizen gibt es eine ONB aus Eoigenvektoren.
Das ist für die "normale" Diagonalisierbarkeit ja nicht gefordert.
Gruß v. Angela
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