Diagonalisierbarkeit von A < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:40 Mi 06.02.2013 | | Autor: | locke123 |
| Aufgabe | Welche der folgenden Aussagen sind wahr, welche falsch? Begründen Sie Ihre Antwort!
(a) Sei A [mm] \in M_{n}(\IR) [/mm] mit [mm] A^{2} [/mm] = [mm] E_{n}. [/mm] Dann ist A diagonalisierbar.
(b) Sei A [mm] \in M_{n}(\IR) [/mm] mit [mm] A^{2} [/mm] = [mm] -E_{n}. [/mm] Dann ist A nicht diagonalisierbar.
(c) Sei A [mm] \in M_{2}(\IR) [/mm] mit [mm] A^{2} [/mm] = [mm] -E_{n}. [/mm] Dann ist A über [mm] \IC [/mm] diagonalisierbar (d.h. es gibt ein
S [mm] \in GL_{2}(\IC) [/mm] sodass [mm] S^{-1}AS [/mm] eine Diagonalmatrix ist).
(d) Sei A [mm] \in M_{2}(\IF_{4}) [/mm] mit [mm] A^{2} [/mm] + A + [mm] E_{2} [/mm] = 0. Dann ist A nicht diagonalisierbar. |
Ich komme leider nicht weiter, schon bei (a) scheiter ich.
Wenn ich [mm] A^{2} [/mm] = [mm] E_{n} [/mm] habe, dann gilt ja A = [mm] A^{-1}. [/mm] Aber was sagt mir das über das charakteristische Polynom bzw. die Eigenvektoren aus?
Ich soll im Prinzip eine Matrix S finden, wobei gilt D = [mm] S^{-1}AS, [/mm] die Eigenwerte des charakteristischen Polynoms müssten doch alle 1 sein oder seh ich das falsch, also müsste gelten [mm] E_{n} [/mm] = [mm] S^{-1}AS
[/mm]
vielleicht bin ich auf dem falschen Weg, aber ein kleiner Tipp wäre ziemlich hilfreich  .
Viele Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:26 Do 07.02.2013 | | Autor: | fred97 |
> Welche der folgenden Aussagen sind wahr, welche falsch?
> Begründen Sie Ihre Antwort!
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> (a) Sei A [mm]\in M_{n}(\IR)[/mm] mit [mm]A^{2}[/mm] = [mm]E_{n}.[/mm] Dann ist A
> diagonalisierbar.
> (b) Sei A [mm]\in M_{n}(\IR)[/mm] mit [mm]A^{2}[/mm] = [mm]-E_{n}.[/mm] Dann ist A
> nicht diagonalisierbar.
> (c) Sei A [mm]\in M_{2}(\IR)[/mm] mit [mm]A^{2}[/mm] = [mm]-E_{n}.[/mm] Dann ist A
> über [mm]\IC[/mm] diagonalisierbar (d.h. es gibt ein
> S [mm]\in GL_{2}(\IC)[/mm] sodass [mm]S^{-1}AS[/mm] eine Diagonalmatrix
> ist).
> (d) Sei A [mm]\in M_{2}(\IF_{4})[/mm] mit [mm]A^{2}[/mm] + A + [mm]E_{2}[/mm] = 0.
> Dann ist A nicht diagonalisierbar.
> Ich komme leider nicht weiter, schon bei (a) scheiter
> ich.
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> Wenn ich [mm]A^{2}[/mm] = [mm]E_{n}[/mm] habe, dann gilt ja A = [mm]A^{-1}.[/mm] Aber
> was sagt mir das über das charakteristische Polynom bzw.
> die Eigenvektoren aus?
Aus [mm] A^2=E_n [/mm] folgt: [mm] (A-E_n)(A+E_n)=0. [/mm] Ist [mm] \mu [/mm] ein EW von A, was kommt dann für [mm] \mu [/mm] nur in Frage ?
FRED
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> Ich soll im Prinzip eine Matrix S finden, wobei gilt D =
> [mm]S^{-1}AS,[/mm] die Eigenwerte des charakteristischen Polynoms
> müssten doch alle 1 sein oder seh ich das falsch, also
> müsste gelten [mm]E_{n}[/mm] = [mm]S^{-1}AS[/mm]
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> vielleicht bin ich auf dem falschen Weg, aber ein kleiner
> Tipp wäre ziemlich hilfreich .
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> Viele Grüße
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