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Forum "Lineare Algebra - Eigenwerte" - Diagonalisierbarkeit norm. End
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Diagonalisierbarkeit norm. End: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:45 Mi 23.05.2012
Autor: huzein

Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

Aufgabe
Zeigen Sie, dass jeder normale Endomorphismus eines  endlichdimensionalen unitären Vektorraums diagonalisierbar ist.

Hallo,

hab obige Aufgabe zu lösen. Nur fehlt mir der Ansatz. In der Vorlesung hatten wir einen Satz über selbstadj Endomorphismen, dass solche stets eine ONB besitzen bestehend aus den EV usw. Zwar sind selbstadj End. auch normal, aber normale End. sind i.A. nicht selbstadj.

Was ich weiß ist folgendes:
i. $f\in\operatorname{End}(V)$ normal$:\iff ff^\ast=f^\ast f$
ii. $f$ normal$\implies \|f(x)\|=\|f^\ast(x)\| \forall x\in V$
iii. EV zu verschiedenen EW sind orthogonal
iv. $f$ normal, $\lambda$ EW von $f$, dann ist $\operatorname{Eig(f,\lambda)^{\perp}$ invariant unter $f$.

Aber mir fehlt dennoch der Ansatz.. vielleicht könnt mir da jmd eine Starthilfe geben...

gruß


hab die Frage in keinem anderen Forum gestellt.

        
Bezug
Diagonalisierbarkeit norm. End: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:59 Mi 23.05.2012
Autor: hippias

Tip: Induktion nach $dim V$. Zeige, dass $f$ einen EV hat und wende Eigenschaft iv) an

Bezug
                
Bezug
Diagonalisierbarkeit norm. End: Beweis korrekt?
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:57 Mi 23.05.2012
Autor: huzein

Da [mm] K=\mathbb{C} [/mm] zerfällt das charakteristische Polynom von F in Linearfaktoren und besitzt mindestens eine Nullstelle. Damit besitzt F mindestens ein Eigenwert und damit mindestens ein Eigenvektor. Ich kann also die Existenz eines Eigenvektors und die des Eigenraums annehmen.

Sei n=0. Dann ist die Basis leer und es gibt nichts zu beweisen.
Sei [mm] n\geq1 [/mm] und [mm] v_1 [/mm] ein EV von F mit [mm] \|v_1\|=1 [/mm] und [mm] \lambda\in\mathbb{C} [/mm] der zugehörige EW. Betrachte [mm] E:=Eig(F,\lambda) [/mm] und sei [mm] (v_1,\ldots,v_k) [/mm] eine ONB von E. Setze [mm] W:=E^\perp. [/mm] Nach Induktionsannahme ist [mm] (w_1,\ldots,w_{n-k}) [/mm] eine ONB von [mm] F|_W. [/mm] Da F normal ist, ist W invariant unter F, das heißt, [mm] F(W)\subset [/mm] W, das heißt für alle [mm] w\in [/mm] W gilt [mm] \langle F(w),\sum\limits_{i=1}^k\mu_iv_i\rangle=0. [/mm] Damit ist dann [mm] B:=(v_1,...,v_k)\cup (w_1,...,w_{n-k})=(v_1,...,v_k,w_1,...,w_{n-k}) [/mm] eine ONB von V bestehend aus Eigenvektoren von F und damit ist F diagonalisierbar.


Ist das korrekt so?

Bezug
                        
Bezug
Diagonalisierbarkeit norm. End: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:33 Do 24.05.2012
Autor: hippias


> Da [mm]K=\mathbb{C}[/mm] zerfällt das charakteristische Polynom von
> F in Linearfaktoren und besitzt mindestens eine Nullstelle.
> Damit besitzt F mindestens ein Eigenwert und damit
> mindestens ein Eigenvektor. Ich kann also die Existenz
> eines Eigenvektors und die des Eigenraums annehmen.
>  
> Sei n=0. Dann ist die Basis leer und es gibt nichts zu
> beweisen.
> Sei [mm]n\geq1[/mm] und [mm]v_1[/mm] ein EV von F mit [mm]\|v_1\|=1[/mm] und
> [mm]\lambda\in\mathbb{C}[/mm] der zugehörige EW. Betrachte
> [mm]E:=Eig(F,\lambda)[/mm] und sei [mm](v_1,\ldots,v_k)[/mm] eine ONB von E.
> Setze [mm]W:=E^\perp.[/mm] Nach Induktionsannahme ist
> [mm](w_1,\ldots,w_{n-k})[/mm] eine ONB von [mm]F|_W.[/mm]

Mache Dir erst klar, dass $F|W$ auch normal ist, damit die Induktionsvoraussetzung erfuellt ist.

>  Da F normal ist,
> ist W invariant unter F, das heißt, [mm]F(W)\subset[/mm] W, das
> heißt für alle [mm]w\in[/mm] W gilt [mm]\langle F(w),\sum\limits_{i=1}^k\mu_iv_i\rangle=0.[/mm]
> Damit ist dann [mm]B:=(v_1,...,v_k)\cup (w_1,...,w_{n-k})=(v_1,...,v_k,w_1,...,w_{n-k})[/mm]
> eine ONB von V bestehend aus Eigenvektoren von F und damit
> ist F diagonalisierbar.
>  
>
> Ist das korrekt so?

Im wesentlichen, ja.

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