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Forum "Lineare Algebra - Matrizen" - Diagonalisierbarkeit
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Diagonalisierbarkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:50 Mi 16.05.2012
Autor: eddiebingel

Aufgabe
a) Betrachte für [mm] \mu \in \IC [/mm] und k [mm] \in \IN [/mm] di Matrix

[mm] M_{k} (\mu) [/mm] := [mm] \pmat{ \mu & 1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & \mu & 1 & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & \mu & 1 \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & \mu} \in \IC^{kxk} [/mm]

Zeige: Für k [mm] \ge [/mm] 2 existiert kein n [mm] \ge [/mm] 2 sodass [mm] (M_{k} (\mu))^{n} [/mm] = [mm] M_{k}(\mu) [/mm]

b) Es sei A [mm] \in \IC^{mxm}. [/mm] Es gebe ein n [mm] \ge [/mm] 2 mit [mm] A^{n} [/mm] = A. Zeige, dass A diagonalisierbar ist.

Hallo zusammen tue mich bei der Aufgabe etwas schwer da ich nicht weiss wie ich den Beweis führen soll

Habe mich mal an der a) versucht da ich die bei der b) brauchen soll allerdings weiss ich noch nicht wie aber jetzt erstmal zur a)

Habe einfach mal k=2 gesetzt und angenommen dass ein solch gesuchtes n existiert

Dann hab ich [mm] (M_{2}(\mu) )^{2} [/mm] gebildet und habe [mm] \pmat{ \mu^{2} & 2\mu \\ 0 & \mu^{2} } [/mm] heraus bekommen

Jetzt habe ich noch ein paar weitere Terme ausgerechnet und bin auf die allgemeine Formel [mm] (M_{n}(\mu))^{n} [/mm] = [mm] \pmat{ \mu^{n} & n\mu^{n-1} \\ 0 & \mu^{n} } [/mm] gekommen, wenn Gleichheit gilt muss durch Koeffizientenvergleich [mm] \mu^{n} =\mu [/mm] gelten dass dilt nur falls [mm] \mu [/mm] = 0 oder [mm] \mu [/mm] = 1 Jetzt habe ich die beiden Fälle eingesetzt

und es folgt für [mm] \mu [/mm] = 0 [mm] \pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 0 } \not= \pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 } [/mm]

und für [mm] \mu [/mm] = 1 [mm] \pmat{ 1 & n \\ 0 & 1 } \not= \pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 1 } [/mm]
da n [mm] \ge [/mm] 2
also Widerspruch!
Kann man dass so machen oder geht das nicht und gibt es noch einen eleganteren Beweis?

lg eddie

        
Bezug
Diagonalisierbarkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:36 Mi 16.05.2012
Autor: wieschoo


> a) Betrachte für [mm]\mu \in \IC[/mm] und k [mm]\in \IN[/mm] di Matrix
>  
> [mm]M_{k} (\mu)[/mm] := [mm]\pmat{ \mu & 1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & \mu & 1 & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & \mu & 1 \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & \mu} \in \IC^{kxk}[/mm]
>  
> Zeige: Für k [mm]\ge[/mm] 2 existiert kein n [mm]\ge[/mm] 2 sodass [mm](M_{k} (\mu))^{n}[/mm]
> = [mm]M_{k}(\mu)[/mm]
>  
> b) Es sei A [mm]\in \IC^{mxm}.[/mm] Es gebe ein n [mm]\ge[/mm] 2 mit [mm]A^{n}[/mm] =
> A. Zeige, dass A diagonalisierbar ist.
>  Hallo zusammen tue mich bei der Aufgabe etwas schwer da
> ich nicht weiss wie ich den Beweis führen soll
>  
> Habe mich mal an der a) versucht da ich die bei der b)
> brauchen soll allerdings weiss ich noch nicht wie aber
> jetzt erstmal zur a)

Für die b) brauchst du sie nicht.

>  
> Habe einfach mal k=2 gesetzt und angenommen dass ein solch
> gesuchtes n existiert
>  
> Dann hab ich [mm](M_{2}(\mu) )^{2}[/mm] gebildet und habe [mm]\pmat{ \mu^{2} & 2\mu \\ 0 & \mu^{2} }[/mm]
> heraus bekommen
>  
> Jetzt habe ich noch ein paar weitere Terme ausgerechnet und
> bin auf die allgemeine Formel [mm](M_{n}(\mu))^{n}[/mm] = [mm]\pmat{ \mu^{n} & n\mu^{n-1} \\ 0 & \mu^{n} }[/mm]

Das gilt für [mm]k=2[/mm].

> gekommen, wenn Gleichheit gilt muss durch
> Koeffizientenvergleich [mm]\mu^{n} =\mu[/mm] gelten dass dilt nur
> falls [mm]\mu[/mm] = 0 oder [mm]\mu[/mm] = 1 Jetzt habe ich die beiden Fälle
> eingesetzt
>  
> und es folgt für [mm]\mu[/mm] = 0 [mm]\pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 0 } \not= \pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 }[/mm]
>  
> und für [mm]\mu[/mm] = 1 [mm]\pmat{ 1 & n \\ 0 & 1 } \not= \pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 1 }[/mm]
>  
> da n [mm]\ge[/mm] 2
>  also Widerspruch!

Genau!

>  Kann man dass so machen oder geht das nicht und gibt es
> noch einen eleganteren Beweis?

Im Prinzip geht das so. Probier doch mal allgemein herauszufinden, wie [mm]M_k(\mu)^n[/mm] aussieht. Am besten mal für k=6. Du wirst sehen, dass die Potenzen immer ähnlich aussehen.

Letztlich brauchst du nur zu zeigen:

[mm]M_k(\mu)^n=\pmat{\mu^n&n\mu^{n-1}&\star&\ldots &\star \\ 0&\mu^n&\star&\ldots &\star \\ \vdots & 0 &\ddots&\ldots&\star}[/mm]

Da geht dein Argument wie oben.


b) Was kannst du über das die Faktorisierung des charakteritischen Polynom von [mm] $M_k(\mu)$ [/mm] sagen? Wie sieht [mm] $\chi_{M_k(\mu)}(\lambda)$ [/mm] aus? (Satz von Cayley-Hamilton)

Bezug
                
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Diagonalisierbarkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:43 Sa 19.05.2012
Autor: eddiebingel

Ok hab das mal weiter fortgeführt und in der Matrix stehen dann immer die einzelnen Terme der binomischen Formel [mm] (\mu [/mm] + [mm] 1)^{n} [/mm] und jetzt führt der Koeffizientenvergleich zum Ergebnis
richtig?

lg eddie

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Diagonalisierbarkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:55 So 20.05.2012
Autor: wieschoo

Hi,

Ja deine Koeffizienten sind richtig. Also hast du in der oberen linken Ecke der Matrix immer die gleich Einträge, wie ich schon schrieb.

Damit kannst du dein Argument bei allen k und n anwenden.

Einen schönen Sonntag

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Diagonalisierbarkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:57 Mo 21.05.2012
Autor: eddiebingel

So jetzt hab ich mich an der b) versucht bin aber trotz deiner Tipps noch nicht zum Ergebnis gekommen
Also A zerfällt vollständig in Linearfaktoren dann besagt der Satz von Cayley-Hamilton [mm] p_{A}(A) [/mm] = 0 = [mm] p_{A^{n}}(A^{n}) [/mm]

Zudem gilt ja [mm] S^{-1}AS [/mm] = [mm] (S^{-1}AS)^{n} [/mm]

Jetzt weiss ich jedoch nicht weiter hoffe du kannst mir nochmal weiterhelfen

lg eddie

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Diagonalisierbarkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:35 Mo 21.05.2012
Autor: fred97

Ist E die Einheitsmatrix, so gilt:

[mm] A(A^{n-1}-E)=0. [/mm]

Sind [mm] w_0,..., w_{n-2} [/mm] die Lösungen der Gleichung [mm] z^{n-1}=1 [/mm] ( mit [mm] w_j \ne w_k [/mm] für j [mm] \ne [/mm] k), so ist

            $A(A-w_0E)*...*(A- [mm] w_{n-2}E)=0$ [/mm]

Wie kannst Du nun [mm] \IC^n [/mm] als direkte Summe von Kernen der Form

                        Kern(A-wE)

darstellen ?

FRED

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Diagonalisierbarkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:04 Mo 21.05.2012
Autor: eddiebingel

Ok demnach lässt sich [mm] \IC^{m} [/mm] schreiben als [mm] \IC^{m} [/mm] = kern A [mm] \oplus kern(A-w_{o}E) \oplus \cdots \plus kern(A-w_{n-2}E) [/mm] und A wäre genau dann diagonalisierbar wenn die algebraische Vielfachheit = geometrischen Vielfachheit ist aber so genau steige ich noch nicht dahinter was du hier genau vor hast und wie der Beweis denn abläuft

sind denn die [mm] w_{i} [/mm] unsere Eigenwerte ?

lg eddie

Bezug
                                                        
Bezug
Diagonalisierbarkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:49 Di 22.05.2012
Autor: wieschoo

Die [mm]w_i[/mm] aus Freds Beitrag sind die lösungen von [mm]z^{n-1}-1=0[/mm]. Und damit auch Nullstellen vom charak. Polynom. Also?

Ziel:

Sei V ein VR über K und [mm]A\in K^{n\times n}[/mm].
Sind [mm]E_1,\ldots,E_n[/mm] die Eigenräumen zu den n verschiedenen Eigenwerten [mm]\lambda_1,\ldots,\lambda_n[/mm]. und gilt [mm]V=\bigoplus_{k=1}^nE_k[/mm]
So ist A diagonalisierbar.  

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