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| Aufgabe | Ist die folgende Matrix über [mm] \IQ, \IR, \IC [/mm] diagonalisierbar?
$ [mm] A=\pmat{ -3 & 4 \\ -1 & 1 } [/mm] $ |
Eigentlich wollte ich nur wissen, ob ich das so richtig mache.
Ich rechne zuerst die Eigenwerte von A aus.
Und wenn ich verschiedene Eigenwerte von A habe ist die Matrix diagonalisierbar und wenn nicht dann nicht.
Stimmt das?
Im obigen Fall bekomme ich als EW [mm] $\lambda_{1,2} [/mm] = -1$ raus.
Damit ist die Matrix nicht diagonalisierbar.
Richtig?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:29 Fr 26.03.2010 | | Autor: | fred97 |
> Ist die folgende Matrix über [mm]\IQ, \IR, \IC[/mm]
> diagonalisierbar?
>
> [mm]A=\pmat{ -3 & 4 \\ -1 & 1 }[/mm]
> Eigentlich wollte ich nur
> wissen, ob ich das so richtig mache.
>
> Ich rechne zuerst die Eigenwerte von A aus.
>
> Und wenn ich verschiedene Eigenwerte von A habe ist die
> Matrix diagonalisierbar und wenn nicht dann nicht.
>
> Stimmt das?
Hinten und vorne stimmt das nicht ! Das
[mm]P=\pmat{ 4711 & 0 \\ 0 & 4711 }[/mm]
ist doch eine wunderschöne Diagonalmatrix mit dem 2-fachen Eigenwert [mm] \lambda [/mm] = 4711. Ist P diagonalisierbar ?
>
>
> Im obigen Fall bekomme ich als EW [mm]\lambda_{1,2} = -1[/mm] raus.
> Damit ist die Matrix nicht diagonalisierbar.
Nach obigem kannst Du Dir da jetzt nicht mehr sicher sein !
Eine nxn-Matrix über K heißt diagonalisierbar, wenn es eine Basis des [mm] K^n [/mm] aus Eigenvektoren von A gibt.
So nun gehe obiges A nochmal an.
FRED
>
> Richtig?
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Irgendwie komm ich damit nicht klar.
Die Eigenwerte meiner Matrix $A$ sind $ [mm] \lambda_{1,2} [/mm] = -1 $
Wenn ich jetzt die Eigenvektoren berechne bekomm ich:
[mm] $Eig(A,-1)=ker\pmat{ -4 & 4 \\ -1 & 0 }$
[/mm]
das heißt, ich bekomme für [mm] $x_{1,2}=0$ also$\vektor{0 \\ 0}$
[/mm]
also wäre meine Basis [mm] $\pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 0 }$
[/mm]
Das spannt doch aber keinen Raum auf.
Wo ist denn mein Fehler?> > Ist die folgende Matrix über [mm]\IQ, \IR, \IC[/mm]
> > diagonalisierbar?
> >
> > [mm]A=\pmat{ -3 & 4 \\ -1 & 1 }[/mm]
> > Eigentlich wollte ich nur
> > wissen, ob ich das so richtig mache.
> >
> > Ich rechne zuerst die Eigenwerte von A aus.
> >
> > Und wenn ich verschiedene Eigenwerte von A habe ist die
> > Matrix diagonalisierbar und wenn nicht dann nicht.
>
> >
> > Stimmt das?
>
>
> Hinten und vorne stimmt das nicht ! Das
>
> [mm]P=\pmat{ 4711 & 0 \\ 0 & 4711 }[/mm]
>
> ist doch eine wunderschöne Diagonalmatrix mit dem 2-fachen
> Eigenwert [mm]\lambda[/mm] = 4711. Ist P diagonalisierbar ?
>
> >
> >
> > Im obigen Fall bekomme ich als EW [mm]\lambda_{1,2} = -1[/mm] raus.
> > Damit ist die Matrix nicht diagonalisierbar.
>
> Nach obigem kannst Du Dir da jetzt nicht mehr sicher sein
> !
>
> Eine nxn-Matrix über K heißt diagonalisierbar, wenn es
> eine Basis des [mm]K^n[/mm] aus Eigenvektoren von A gibt.
>
> So nun gehe obiges A nochmal an.
>
> FRED
> >
> > Richtig?
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Hallo,
> Irgendwie komm ich damit nicht klar.
>
> Die Eigenwerte meiner Matrix [mm]A[/mm] sind [mm]\lambda_{1,2} = -1[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Wenn ich jetzt die Eigenvektoren berechne bekomm ich:
>
> [mm]Eig(A,-1)=ker\pmat{ -4 & 4 \\ -1 & 0 }[/mm]
Nana, -(-1)=+1!!
Berechne [mm] $\operatorname{ker}\pmat{-3-(-1)&4\\-1&1-(-1)}=\operatorname{ker}\pmat{-2&4\\-1&2}$
[/mm]
>
> das heißt, ich bekomme für [mm]x_{1,2}=0[/mm] also[mm]\vektor{0 \\ 0}[/mm]
Der Nullvektor ist per definitionem kein Eigenvektor!
>
> also wäre meine Basis [mm]\pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 0 }[/mm]
>
> Das spannt doch aber keinen Raum auf.
>
>
> Wo ist denn mein Fehler?
Bei den Grundrechenarten 
Gruß
schachuzipus
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Ich steh hier völlig auf dem Schlauch.
Jetzt hab ich für
$ [mm] Eig(A,-1)=ker\pmat{ -2 & 4 \\ -1 & 2 } [/mm] = [mm] \vektor{2 \\ 1}$
[/mm]
Aber dann hab ich doch immernoch keine Basis.
Damit bleibt doch $A$ nicht diagonalisierbar, oder ??
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:05 Fr 26.03.2010 | | Autor: | fred97 |
> Ich steh hier völlig auf dem Schlauch.
>
>
> Jetzt hab ich für
>
> [mm]Eig(A,-1)=ker\pmat{ -2 & 4 \\ -1 & 2 } = \vektor{2 \\ 1}[/mm]
>
> Aber dann hab ich doch immernoch keine Basis.
>
> Damit bleibt doch [mm]A[/mm] nicht diagonalisierbar, oder ??
Ja
FRED
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