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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:41 Mo 09.05.2005 | | Autor: | Sanshine |
Hallo, ich habe einmal mehr ein Problem. Und zwar rechne ich seit einiger Zeit an folgender Aufgabe herum:
Sei A:= [mm] \pmat{ -1 & -3 & -4 \\ -1 & 0 & 3 \\ 1 & -2 & -5 } \in [/mm] M(3x3, [mm] \IR).
[/mm]
Man finde eine untere Dreiecksmatrix B [mm] \in [/mm] M(3x3, [mm] \IR) [/mm] und ein T [mm] \in [/mm] GL(3, [mm] \IR) [/mm] mit [mm] T^{-1}AT=B.
[/mm]
Ich bin auch einigermaßen vorangekommen, zumindest habe ich [mm] p_A=p_B [/mm] ausgenutzt und dabei herausbekommen, dass [mm] b_{11},b_{22},b_{33} [/mm] jeweils -2 ergeben müssen (glaube ich).
Aber was ist mit [mm] b_{21}, b_{31} [/mm] und [mm] b_{32}? [/mm] Darf ich mir die frei wählen?
Und wie komme ich auf dieses T?
Ich bin jetzt erst einmal davon ausgegangen, dass ich mir die fraglichen Stellen von B frei wählen kann. Dann habe ich versucht mir zu A eine lineare Abbildung [mm] \alpha [/mm] (mittels Einheitsbasis E ) zu finden und dann die Basis E' zu finden, auf die dieselbe Abb. angewand B ergibt, weil etwas ähnliches in der Vorlesung steht. Also, genaugenommen [mm] A=(M^{E}_E) [/mm] und [mm] B=(M^{E'}_{E'}).
[/mm]
Leider muss ich gestehen, dass ich mit diesem Thema noch nie so wirklich zurecht kam, aber ich bin so weit - glaube ich - noch klar gekommen. Doch, ehrlich gesagt, verzweifel ich völlig, bei der Frage, was jetzt: [mm] T=T^{E}_{E'}=(M^{E}_{E'})_{id} [/mm] heißen soll.
Ich weiß, das alles ist sehr verworren und nicht besonders gut formuliert, aber ich weiß mir leider nicht mehr zu helfen und wäre für jede Erklärung dankbar.
Gruß, San
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:32 Di 10.05.2005 | | Autor: | Sanshine |
Vielen Dank, ich versuchs. Fragen kann ich später ja immer noch ![[grins]](/images/smileys/grins.gif "[grins]")
Gruß, San
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:58 Di 10.05.2005 | | Autor: | Sanshine |
Ich verstehe es einfach nicht :(
Ich habe mir das Beispiel angeschaut und komme damit einfach nicht klar, vermutlich, weil mir irgendwelche Grundlagen fehlen: Zum Beispiel ist da die Rede vom "geschickten" Ergänzen zur neuen Basis. Was genau ist geschickt? Kann ich denn da immer einfach mit der Standartbasis arbeiten? Und wie genau komme ich von den Basen auf T? Über diese Summe [mm] (\summe^{n}_{i=0}t_{ij}v_j=e^n_j??? [/mm] Wenn ja, dann verstehe ich es nicht, denn die [mm] t_{ij} [/mm] sind doch einträge in T und somit Köperelemente, oder? Das heißt doch, in diesem Fall (Beispiel) stünde da [mm] (1,0,0)=t_{11}(1,-1,1)+t_{21}(1,-1,1)+t_{31}(1,-1,1), [/mm] was doch eigentlich nicht aufgeht, oder habe ich da etwas falsch verstanden?
Ich brauche anscheinend doch mehr Einhilfe.
Vielen Dank schon mal im Voraus, San
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:21 Mi 11.05.2005 | | Autor: | Julius |
Liebe San!
> Ich habe mir das Beispiel angeschaut und komme damit
> einfach nicht klar, vermutlich, weil mir irgendwelche
> Grundlagen fehlen: Zum Beispiel ist da die Rede vom
> "geschickten" Ergänzen zur neuen Basis. Was genau ist
> geschickt? Kann ich denn da immer einfach mit der
> Standartbasis arbeiten?
Ja, ergänze die Basis einfach mit geeigneten Vektoren der Standardbasis.
> Und wie genau komme ich von den
> Basen auf T?
In [mm] $T^{-1}$ [/mm] stehen in den Spalten einfach die Koordinaten der Basisvektoren. (Vorsicht: Da ist ein Druckfehler in dem File; das Element $(3,1)$ der Matrix [mm] $T^{-1}$ [/mm] muss $1$ heißen, nicht $0$.) Durch Invertieren dieser Matrix kannst du $T$ bestimmen.
> Über diese Summe
> [mm](\summe^{n}_{i=0}t_{ij}v_j=e^n_j???[/mm] Wenn ja, dann verstehe
> ich es nicht, denn die [mm]t_{ij}[/mm] sind doch einträge in T und
> somit Köperelemente, oder? Das heißt doch, in diesem Fall
> (Beispiel) stünde da
> [mm](1,0,0)=t_{11}(1,-1,1)+t_{21}(1,-1,1)+t_{31}(1,-1,1),[/mm] was
> doch eigentlich nicht aufgeht, oder habe ich da etwas
> falsch verstanden?
Also, da stünde dann:
[mm](1,0,0)=t_{11}(1,-1,1)+t_{21}(0,1,0)+t_{31}(0,0,1),[/mm].
Aber mache es lieber so wie oben von mir beschrieben. 
Liebe Grüße
Julius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:37 Mi 11.05.2005 | | Autor: | Sanshine |
Vielen Dank, ich glaube, ich habe es jetzt verstanden, auch wenn es aus unerfindlichen Gründen in meiner Konkreten Aufgabe immer noch nicht funktioniert. *seuftz*
Bin mir nicht sicher, aber ist die Summe in dem Link dann nicht falsch? Müsste da dann nicht [mm] v_i [/mm] stehen und nicht [mm] v_j??? [/mm]
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