Diagonalisierbarkeit < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:00 Sa 07.05.2005 | | Autor: | Maddin84 |
Hallo Zusammen!
Ich habe folgende Aufgaben gestellt bekommen:
Diagonalisiere die folgenden Matrizen A, d.h. gib eine invertierbare Matrix S an, so dass [mm] S^{-1}AS [/mm] Diagonalgestalt hat.
1. [mm] \pmat{0&1&-1\\-1&2&-1\\-1&1&0}
[/mm]
Dabei habe ich als Eigenwerte 0 und 1 raus. Das heißt doch, dass die Matrix nicht diagonalisierbar ist, weil ich ja n verschiedene Eigenwerte benötige, oder?
2. [mm] \pmat{2a-b&b-a\\2(a-b)&2b-a}
[/mm]
Hier bekomme ich die Eigenwerte a und b. Was passiert denn für den Fall a=b. Ist die Matrix dann auch diagonalisierbar?
Danke im Voraus,
Maddin84
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:04 Sa 07.05.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Maddin!
Dei Bedingung, dass man $n$ verschiedene Eigenwerte hat, ist nur hinreichend für die Diagonalisierbarkeit der Matrix, keinesfalls notwendig.
Du musst schauen, ob für jeden Eigenwert die Dimension des Eigenraums gleich der algebraischen Vielfachheit (also der Vielfachheit des Eigenwertes als Nullstelle des charakteristischen Polynoms) übereinstimmt.
Versuchst du das bitte mal für deine beiden Beispiele und meldest dich wieder mit einem neuen Vorschlag? 
Viele Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:56 Sa 07.05.2005 | | Autor: | Maddin84 |
Die Dimension des Eigenraums zum Eigenwert 2 ist ja 2. D.h, also die Matrix ist doch diagonalisierbar.
Aber wie sehen jett die Eigenvektoren zu dem Eigenwert aus?
[mm] \vektor{(0\\1\\1}, \vektor{1\\0\\-1} [/mm] oder [mm] \vektor{1\\1\\0}?
[/mm]
Zwei davon müssen es ja sein. Aber welche? Oder kann ich mir einfach 2 davon aussuchen?
Gruß,
Maddin
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Hallo!
Du meintest sicherlich die Dimension des Eigenraums zum Eigenwert 1 ist 2. Habe es nachgerechnet und bin auch auf Dimension 2 gekommen d.h. die Eigenvektoren liegen alle in einer Ebene und zwar ist diese von der Form: [mm] t*\vektor{1 \\ 0 \\ -1} [/mm] + s* [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 1} [/mm] Alle Vektoren, die diese Ebenengleichung erfüllen, sind Eigenvektoren zum Eigenwert 1. Also auch der Vektor [mm] \vektor{1 \\ 1\\ 0} [/mm] denn für t=1 und s=1 kannst du genau diesen Vekor erzeugen. [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ -1} [/mm] + [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 1} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 0}. [/mm]
Gruß Marietta
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