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Diagonalisierbarkeit: Übungsblatt
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:39 So 24.04.2005
Autor: Phobos

Es geht um eine Aufgabe auf unserem aktuellen LA Übungsblatt.

Frage:
Es sei [mm] n\in\IN [/mm] und V ein n-dimensionaler [mm] \IR-Vektorraum. [/mm] Zeigen sie, dass zu jedem diagonalisierbaren Endomorphismus [mm] \phi [/mm] ein Endomorphismus [mm] \psi [/mm] von V mit [mm] \psi^3 [/mm] = [mm] \phi [/mm] existiert.

Ich bin bisher so weit:
[mm] \phi [/mm] ist diagonalisierbar
[mm] \Rightarrow A'_\phi [/mm] = [mm] S^{-1}AS [/mm] hat diagonalgestalt

Sei [mm] B'_\psi [/mm] = [mm] \pmat{ \wurzel[3]{a'_{11}} & ... &0 \\ 0 & ... & 0 \\ 0 & ... & \wurzel[3]{a'_{nn}} } [/mm]
[mm] \Rightarrow A'_\phi [/mm] = [mm] (B'_\psi)^3 [/mm]
[mm] \Rightarrow A_\phi [/mm] = [mm] SA'_\phiS^{-1} [/mm] = [mm] S(B'_\psi)^3S^{-1} [/mm]


warum gilt jetzt aber [mm]SA^3S^{-1}=(SAS^{-1})^3[/mm]  ?


Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
        
Bezug
Diagonalisierbarkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:47 So 24.04.2005
Autor: Micha

Hallo!
> Frage:
>  Es sei [mm]n\in\IN[/mm] und V ein n-dimensionaler [mm]\IR-Vektorraum.[/mm]
> Zeigen sie, dass zu jedem diagonalisierbaren Endomorphismus
> [mm]\phi[/mm] ein Endomorphismus [mm]\psi[/mm] von V mit [mm]\psi^3[/mm] = [mm]\phi[/mm]
> existiert.
>  
> Ich bin bisher so weit:
>  [mm]\phi[/mm] ist diagonalisierbar
>  [mm]\Rightarrow A'_\phi[/mm] = [mm]S^{-1}AS[/mm] hat diagonalgestalt
>  
> Sei [mm]B'_\psi[/mm] = [mm]\pmat{ \wurzel[3]{a'_{11}} & ... &0 \\ 0 & ... & 0 \\ 0 & ... & \wurzel[3]{a'_{nn}} }[/mm]
>  
> [mm]\Rightarrow A'_\phi[/mm] = [mm](B'_\psi)^3[/mm]
>  [mm]\Rightarrow A_\phi[/mm] = [mm]SA'_\phi S^{-1}[/mm] = [mm]S(B'_\psi)^3S^{-1}[/mm]

[ok] sehr gut!
>
> warum gilt jetzt aber [mm]SA^3 S^{-1}=(SA S^{-1})^3[/mm]  ?

Weil $(SA [mm] S^{-1})^3 [/mm] = SA [mm] S^{-1} [/mm] SA [mm] S^{-1} [/mm] SA [mm] S^{-1} [/mm] = ...$

Nun ist aber [mm] $S^{-1} [/mm] S = [mm] E_n$ [/mm]

Also: $SA [mm] S^{-1} [/mm] SA [mm] S^{-1} [/mm] SA [mm] S^{-1} [/mm] = SA [mm] E_n [/mm] A [mm] E_n [/mm] A [mm] S^{-1} [/mm] = SA  A A [mm] S^{-1} [/mm] = [mm] SA^3 S^{-1}$ [/mm]

Wenn [mm] $E_n$ [/mm] die n-reihige Einheitsmatrix bezeichnet...

Gruß Micha ;-)
Bezug
                
Bezug
Diagonalisierbarkeit: Danke
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:05 So 24.04.2005
Autor: Phobos

Ups. Ist ja schon fast peinlich :) Danke für die schnelle Antwort! Super, euer Forum!
Bezug
                        
Bezug
Diagonalisierbarkeit: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 00:09 Mo 25.04.2005
Autor: Micha


> Ups. Ist ja schon fast peinlich :) Danke für die schnelle
> Antwort! Super, euer Forum!

Ach finde ich nicht, dass das peinlich war! :-)

Danke für die lobenden Worte! ^^

[gutenacht]

Micha ;-)
Bezug
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