Diagonalisierbarkeit < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:35 Mi 31.01.2007 | | Autor: | peter_d |
| Aufgabe | | [mm] $\text{Ist }A=\left(\begin{array}{ccc}4&1&-9\\0&1&0\\1&0&-2\end{array}\right) \text{ über }\mathbb{R}\text{ diagonalisierbar?}$ [/mm] |
Hallo. Eigentlich dachte ich, das schon bearbeitet zu haben, aber nun doch noch eine Rückfrage.
Das char. Poly. ist [mm] $\lambda^3-3\cdot \lambda^2+3\cdot\lambda-1 [/mm] = [mm] (\lambda-1)^3$
[/mm]
Die Eigenwerte sind somit {1,1,1}. 1 ist also 3-facher Eigenwert.
Es gilt aber nun auch [mm] $\dim V_3(A) =3\le [/mm] 3$.
Ist die Matrix nun trotzdem diagonalisierbar? Oder wäre sie nur dann nicht diagonaliserbar wenn die Dimension nur "<" und nicht "<=" wäre?
Und nebenbei: Die geometrische Vielfachheit ist immer kleiner gleich der algebraischen. Doch kann die geometrische auch gleich null sein?
Danke und Gruß
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> [mm]\text{Ist }A=\left(\begin{array}{ccc}4&1&-9\\0&1&0\\1&0&-2\end{array}\right) \text{ über }\mathbb{R}\text{ diagonalisierbar?}[/mm]
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> Hallo. Eigentlich dachte ich, das schon bearbeitet zu
> haben, aber nun doch noch eine Rückfrage.
> Das char. Poly. ist [mm]\lambda^3-3\cdot \lambda^2+3\cdot\lambda-1 = (\lambda-1)^3[/mm]
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> Die Eigenwerte sind somit {1,1,1}. 1 ist also 3-facher
> Eigenwert.
> Es gilt aber nun auch [mm]\dim V_3(A) =3\le 3[/mm].
Hallo,
ich weiß nicht genau, was Du mit [mm] \dim V_3(A) [/mm] =3 meinst, könnte mir aber vorstellen, daß Du eigentlich [mm] \dim V_1(A) [/mm] =3 schreiben wolltest und damit den Eigenraum zum Eigenwert 1 meinst.
Falls das so ist, rechne nochmal nach.
Ich meine, Du hast Dich verrechnet.
Du müßtest doch jetzt den Kern von A-E berechnen.
Wenn ich mich nicht verrechnet habe, hat der die Dimension 1.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:20 Mi 31.01.2007 | | Autor: | peter_d |
da hast du wohl recht, hab ich wohl wirklich was vertauscht. hrm..
na gut, neuer anlauf:
[mm] $\dim V_1(A) [/mm] = 1-rang(A-E) = 1-2=-1<1\ [mm] \Rightarrow\ [/mm] $nicht diagonalisierbar
???
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> da hast du wohl recht, hab ich wohl wirklich was
> vertauscht. hrm..
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> na gut, neuer anlauf:
>
> [mm]\dim V_1(A) = 1-rang(A-E) = 1-2=-1<1\ \Rightarrow\ [/mm]nicht
> diagonalisierbar
>
> ???
Hallo,
ich weiß nicht, ob das nur von der Optik ungeschickt geschrieben ist, oder ob Du irgendetwas nicht richtig verstehst.
Es ist [mm] \dim V_1(A) [/mm] = 1, das hatte ich auch ausgerechnet.
rang(A-E)=2 (2 unabhängige Spalten)
Also ist
[mm] \underbrace{3}_{3x3 Matrix} [/mm] - [mm] \underbrace{3}_{Vielfachheit}=3 [/mm] - [mm] 3=0\not= [/mm] rang(A-E)=2,
also nicht diagonalisierbar.
Gruß v. Angela
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