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Diagonalisierbar: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:06 Mi 30.05.2012
Autor: Lu-

Aufgabe
V endlich dimensionaler Vektorraum
[mm] \phi:V->V [/mm] diagonalisierbare,lineare Abbildung
V= W [mm] \oplus [/mm] W'
[mm] \phi [/mm] (W) [mm] \subseteq [/mm] W
[mm] \phi(W') \subseteq [/mm] W'
ZuZeigen [mm] \phi|_W [/mm] : W->W und [mm] \phi|_{W'} [/mm] : W' -> W'  diagonalsisierbar.


Ich habe den beweis heute vom Tutor bekommen, da er so schnell weg musste konnte er keine fragen mehr beantworten.

[mm] \exists [/mm] Basis B von V
B = [mm] B^{\*} \cup [/mm] B'
[mm] B^{\*} [/mm] .. Basis von W
B' .. Basis von W'

[mm] [\phi]_{BB} [/mm] = [mm] \pmat{ [\phi|_W ]_{B^{\*}B^{\*}} & 0 \\ 0 & [\phi|_{W'} ]_{B'B'} } [/mm]
[mm] \exists [/mm] S [mm] \in GLn(\IK) [/mm] sodass [mm] S^{-1} [\phi]_{BB} [/mm] S = Diagonalmatrix.
-> beide blöcke in obreige matrix diagonalisierbar.

Jetzt meine Frage:
Wie kommt man auf die obige Darstellung von [mm] [\phi]_{BB} [/mm] ?
Sagt einen dass die Invarianz, weil die haben wir ja sonst nicht benutzt oder die komplementären Teilräume? Bin da etwas ratlos.
Schaut aus  wie eine Projektion..?

        
Bezug
Diagonalisierbar: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:18 Do 31.05.2012
Autor: fred97


> V endlich dimensionaler Vektorraum
>  [mm]\phi:V->V[/mm] diagonalisierbare,lineare Abbildung
>  V= W [mm]\oplus[/mm] W'
>  [mm]\phi[/mm] (W) [mm]\subseteq[/mm] W
>  [mm]\phi(W') \subseteq[/mm] W'
>  ZuZeigen [mm]\phi|_W[/mm] : W->W und [mm]\phi|_{W'}[/mm] : W' -> W'  

> diagonalsisierbar.
>  
> Ich habe den beweis heute vom Tutor bekommen, da er so
> schnell weg musste konnte er keine fragen mehr
> beantworten.
>  
> [mm]\exists[/mm] Basis B von V
> B = [mm]B^{\*} \cup[/mm] B'
>  [mm]B^{\*}[/mm] .. Basis von W
>  B' .. Basis von W'
>  
> [mm][\phi]_{BB}[/mm] = [mm]\pmat{ [\phi|_W ]_{B^{\*}B^{\*}} & 0 \\ 0 & [\phi|_{W'} ]_{B'B'} }[/mm]
>  
> [mm]\exists[/mm] S [mm]\in GLn(\IK)[/mm] sodass [mm]S^{-1} [\phi]_{BB}[/mm] S =
> Diagonalmatrix.
>  -> beide blöcke in obreige matrix diagonalisierbar.

Da fehlen aber noch Begründungen !


>  
> Jetzt meine Frage:
>  Wie kommt man auf die obige Darstellung von [mm][\phi]_{BB}[/mm] ?
>  Sagt einen dass die Invarianz


Ja, für jedes b [mm] \in B^{\*} [/mm] ist [mm] \phi(b) \in B^{\*}, [/mm]

Ebenso für B'

FRED


>  weil die haben wir ja sonst
> nicht benutzt oder die komplementären Teilräume? Bin da
> etwas ratlos.
>  Schaut aus  wie eine Projektion..?


Bezug
                
Bezug
Diagonalisierbar: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 09:59 Do 31.05.2012
Autor: Lu-

Welche begründungen fehlen denn? Lg

Bezug
                        
Bezug
Diagonalisierbar: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:32 Sa 02.06.2012
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
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