Diagonalisierbar < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo zusammen,
oh ja, mir kommen irgendwie immer neue Fragen bzw. Unklarheiten im Umfeld von Matrizen auf: :-O
Bezüglich der Diagonalisierbarkeit von Matrizen kann man sich fragen:
1.) Wann ist A diagonalisierbar?
2.) Wann ist A orthogonal diagonalisierbar?
3.) Wann ist A unitär diagonalisierbar?
Zu 1.) gilt ja das Allgemeine: A ist diagonalisierbar $ [mm] \gdw \exists T^{-1} [/mm] $ mit $ [mm] T^{-1} [/mm] $ A T = Diag $ [mm] \gdw [/mm] $ A besitzt n linear unabhängige Eigenvektoren (EV).
Wann trifft 2. + 3. zu, welche Voraussetzung müssen gelten / was für Folgerungen ergeben sich daraus? Auf jeden Fall sind wir ja bei 2. im Reellen und bei 3. im Komplexen, aber dann?
Danke und Grüße,
Willkommen
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:42 Fr 30.03.2007 | | Autor: | Willkommen |
Hallo,
vielleicht ist mir über Nacht eine teilweise Erklärung gekommen:
Grundsätzlich gilt:
A ist diagonalisierbar $ [mm] \gdw \exists T^{-1} [/mm] $ mit $ [mm] T^{-1} [/mm] $ A T = Diag $ [mm] \gdw [/mm] $ A besitzt n linear unabhängige Eigenvektoren (EV).
Nun ist es "relativ" aufwendig, eine Matrix zu invertieren. Da wir wissen, dass im Komplexen [mm] A^{-1}=\overline{A}^{t} [/mm] gilt, basteln wir uns über die bei hermiteschen Matrizen senkrecht stehenden EV ein unitäres U, von welchem sich einfach das INverse bilden lässt.
Das heisst: A ist unitär diagonalisierbar [mm] \gdw [/mm] A ist hermitesch
Was meint ihr, liege ich richtig? Wie sieht es mit orthogonaler diagbarkeit aus?
Grüße,
Willkommen
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:20 Mo 02.04.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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