Diagonalisation < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:00 So 01.02.2009 | | Autor: | sdj |
| Aufgabe | Man berechne (und prüfe nach) eine orthogonale Matrix die [mm] \IA [/mm] diagonalisiert:
a) [mm] \IA [/mm] = [mm] \begin{pmatrix}
3 & 1 \\
1 & 3
\end{pmatrix} [/mm] |
Was wird hier gesucht?
Ich habe mal die Matrix diagonalisiert:
[mm] \begin{pmatrix}
3 & 1 \\
0 & -8
\end{pmatrix}
[/mm]
...diese ist jedoch nicht orthogonal.
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Hallo!
> Man berechne (und prüfe nach) eine orthogonale Matrix die
> [mm]\IA[/mm] diagonalisiert:
>
> a) [mm]A = \begin{pmatrix}
3 & 1 \\
1 & 3
\end{pmatrix}[/mm]
> Was wird hier gesucht?
Du sollst prüfen, ob man schreiben kann $P^TAP=D$ wobei D eine Diagonalmatrix ist und P eine orthogonale Matrix.
>
> Ich habe mal die Matrix diagonalisiert:
>
> [mm]\begin{pmatrix}
3 & 1 \\
0 & -8
\end{pmatrix}[/mm]
>
Nein, denn eine diagonalisierte Matrix hat außerhalb der Diagonalen nur Nullen als Einträge. Wie bist du denn vorgegangen?
Hast du schon die Eigenwerte und Eigenvektoren zu der Matrix A berechnet??
> ...diese ist jedoch nicht orthogonal.
Gruß Patrick
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:20 So 01.02.2009 | | Autor: | sdj |
Ich ging nach der Additionsmethode von Gauss vor.
>Nein, denn eine diagonalisierte Matrix hat außerhalb
>der Diagonalen nur Nullen als Einträge.
Ok, dann komme ich auf folgendes Resultat der diagonalisation.
$ [mm] \begin{pmatrix} 24 & 0 \\ 0 & -8 \end{pmatrix} [/mm] $
>Du sollst prüfen, ob man schreiben kann $ P^TAP=D $
>wobei D eine Diagonalmatrix ist und P eine orthogonale Matrix.
Wie finde ich nun P raus? Es kann ja irgendeine orthogonale Matrix sein?
Mit P^TAP=D meinst du A-P=D?
Besten Dank.
Grüsse
sdj
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> Ich ging nach der Additionsmethode von Gauss vor.
>
>
Ohhh! Jetzt merke ich welchen gravierenden Fehler du machst!! Du sollst die Matrix nicht mit Gauß auf Zeilenstufenform bringen.
Bitte wiederhole in deinem Skript das Kapitel Diagonalisierung. Bei der Diagonalisierung geht es darum, die Abbildung, die die Matrix konstituiert bzgl. so einer Basis zu schreiben, dass die Abbildungsmatrix gerade Diagonalgestalt halt.
>
> >Nein, denn eine diagonalisierte Matrix hat außerhalb
> >der Diagonalen nur Nullen als Einträge.
>
> Ok, dann komme ich auf folgendes Resultat der
> diagonalisation.
>
> [mm]\begin{pmatrix} 24 & 0 \\ 0 & -8 \end{pmatrix}[/mm]
Siehe oben. Du sollst nicht die Matrix mit Gauß umformen!
>
> >Du sollst prüfen, ob man schreiben kann [mm]P^TAP=D[/mm]
> >wobei D eine Diagonalmatrix ist und P eine orthogonale
> Matrix.
>
> Wie finde ich nun P raus? Es kann ja irgendeine orthogonale
> Matrix sein?
>
Dazu berechne zuerst die Eigenwerte und die dazugehörigen Eigenvektoren.
Die Eigenvektoren als Spalten in eine Matrix geschrieben ergeben dann deine Matrix P. Vorher solltest du sie aber orthonormieren (bzw. hier reicht normieren, da sie bereits orthogonal stehen), dann ist P auch eine orthogonale Matrix.
> Mit P^TAP=D meinst du A-P=D?
>
Das verstehe ich nicht.
> Besten Dank.
>
> Grüsse
> sdj
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:43 Mo 02.02.2009 | | Autor: | sdj |
det(A - [mm] \lambda [/mm] E) = (3 - [mm] \lambda)(3-\lambda)-1=0
[/mm]
[mm] \lambda_1 [/mm] = 2
[mm] \lambda_2 [/mm] = 4
[mm] \begin{pmatrix}
1 & 1 \\
1 & 1
\end{pmatrix}
[/mm]
[mm] 1x_1 [/mm] + [mm] 1x_2 [/mm] = 0
[mm] x_1 [/mm] = [mm] \bruch{1}{\wurzel{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}
[/mm]
[mm] x_2 [/mm] = [mm] \bruch{1}{\wurzel{2}} \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix}
[/mm]
[mm] \begin{pmatrix}
\bruch{1}{\wurzel{2}} & \bruch{-1}{\wurzel{2}} \\
\bruch{-1}{\wurzel{2}} & \bruch{1}{\wurzel{2}}
\end{pmatrix}
[/mm]
..nun stehen die Eigenvektoren orthonormiert in einer Matrix. Wie muss ich jetzt weiter vorgehen? Was genau meinst du mit P^TAP=D?
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Hallo,
bitte halte Deine rechnungen nicht so wortkarg, sondern erkläre etwas, was Du tust, das erspart dem Lesenden Grübeleien und auch Dir hilft es, da Du Dir rechenschaft über Dein mathematisches Tun ablegen mußt.
Du berechnest also das charakteristische Polynom der Matrix:
> det(A - [mm]\lambda[/mm] E) = (3 - [mm]\lambda)(3-\lambda)-1=0[/mm]
Ermittelst seine Nullstellen, also die beiden Eigenwerte:
> [mm]\lambda_1[/mm] = 2
> [mm]\lambda_2[/mm] = 4
Nun bestimmst Du den Eigenraum zum Eigenwert 2, indem Du eine Basis von Kern(A-2E) berechnest:
>
A-2E=
> [mm]\begin{pmatrix}
1 & 1 \\
1 & 1
\end{pmatrix}[/mm],
zwecks Berechnung des Kerns auf Zeilenstufenform gebracht erhältst Du
[mm]\begin{pmatrix}
1 & 1 \\
0 & 0
\end{pmatrix}[/mm]
Für alle vektoren [mm] \vektor{x_1\\x_2}\in [/mm] Kern(A-2E) gilt also
> [mm]1x_1[/mm] + [mm]1x_2[/mm] = 0,
dh. sie haben die Gestalt [mm] \vektor{x_1\\x_2}=\vektor{x_1\\-x_1}=x_1\vektor{1\\-1}
[/mm]
Somit ist [mm] \vektor{1\\-1} [/mm] eine Basis des Eigenraumes zum Eigenwert 2,
normieren liefert
>
>= [mm]\bruch{1}{\wurzel{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}[/mm]
Damit ist der erste der benötigten Eigenvektoren gefunden, welcher die erste Spalte der gesuchten Matrix P liefert.
Nun benötigst Du noch eine Basis des Eigenraumes zum Eigenwert 4, oder sagen wir meinetwegen verkürzt: einen Eigenvektor zum Eigenwert 4.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:12 Mo 02.02.2009 | | Autor: | sdj |
Dieser habe ich doch bereits?
Eigenvektor zum Eigenwert 4
[mm] \bruch{1}{\wurzel{2}} \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix}
[/mm]
Eigenvektor zum Eigenwert 2
[mm] \bruch{1}{\wurzel{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}
[/mm]
Daraus ergibt sich folgende orthonormierte Matrix:
[mm] \begin{pmatrix} \bruch{1}{\wurzel{2}} & \bruch{-1}{\wurzel{2}} \\ \bruch{-1}{\wurzel{2}} & \bruch{1}{\wurzel{2}} \end{pmatrix}
[/mm]
Aber, wie weiter? Was genau meinst du mit P^TAP=D?
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> Dieser habe ich doch bereits?
Hallo,
nein, bisher ist der Eigenvektor zum Eigenwert 2 vorhanden, bzw. die Basis des Eigenraumes zum Eigenwert 2.
Für den Eigenwert 4 ist dies noch zu berechnen, und zwar in derselben Art und Weise, wie ich es Dir für den Eigenwert 2 vorgemacht habe.
> Eigenvektor zum Eigenwert 4
> [mm]\bruch{1}{\wurzel{2}} \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix}[/mm]
>
> Eigenvektor zum Eigenwert 2
> [mm]\bruch{1}{\wurzel{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}[/mm]
>
> Daraus ergibt sich folgende orthonormierte Matrix:
>
> [mm]\begin{pmatrix} \bruch{1}{\wurzel{2}} & \bruch{-1}{\wurzel{2}} \\ \bruch{-1}{\wurzel{2}} & \bruch{1}{\wurzel{2}} \end{pmatrix}[/mm]
Daß hier irgendetwas nicht stimmt, solltest Du selbst merken: die Matrix ist doch gar nicht orthogonal!
Wie gesagt: berechne den zweiten Eigenvektor.
>
> Aber, wie weiter? Was genau meinst du mit P^TAP=D?
Die Matrix P ist die, die die beiden orthonormalen Eigenvektoren in den Spalten enthält.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:01 Mo 02.02.2009 | | Autor: | sdj |
Sehe den Fehler leider nicht. Könntest du meine Überlegungen nochmals prüfen?
Eigenraum zum Eigenwert 4:
A-4E = [mm] \begin{pmatrix} 3-4 & 1 \\ 1 & 3-4 \end{pmatrix}
[/mm]
A-4E = [mm] \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}
[/mm]
Für alle vektoren $ [mm] \vektor{x_1\\x_2}\in [/mm] $ Kern(A-4E) gilt:
$ [mm] -1x_1 [/mm] $ + $ [mm] -1x_2 [/mm] $ = 0
dh. sie haben die Gestalt [mm] \vektor{x_1\\x_2}=\vektor{-x_1\\x_1}=x_1\vektor{-1\\1} [/mm]
Somit ist $ [mm] \vektor{-1\\1} [/mm] $ eine Basis des Eigenraumes zum Eigenwert 4
normieren liefert
= $ [mm] \bruch{1}{\wurzel{2}} \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix} [/mm]
Weiter?
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> Sehe den Fehler leider nicht. Könntest du meine
> Überlegungen nochmals prüfen?
>
> Eigenraum zum Eigenwert 4:
>
> A-4E = [mm]\begin{pmatrix} 3-4 & 1 \\ 1 & 3-4 \end{pmatrix}[/mm]
>
> A-4E = [mm]\begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}[/mm]
Hallo,
jetzt bring das mal auf ZSF: [mm] \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 0 &0 \end{pmatrix}
[/mm]
>
> Für alle vektoren [mm]\vektor{x_1\\x_2}\in[/mm] Kern(A-4E) gilt:
>
> [mm]-1x_1[/mm] + [mm]-1x_2[/mm] = 0
Eben nicht! Was sagt denn die erste Zeile?
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:50 Mo 02.02.2009 | | Autor: | sdj |
Hm, dann komme ich diesem Rätsel ja langsam einen Schritt näher.
Dann ergibt sich daraus ergibt sich folgende orthonormierte Matrix:
[mm] \begin{pmatrix} \bruch{1}{\wurzel{2}} & \bruch{1}{\wurzel{2}} \\ \bruch{-1}{\wurzel{2}} & \bruch{1}{\wurzel{2}} \end{pmatrix} [/mm]
Aber wie geht es weiter? - Wenn ich die Antwort wüsste, resp. einen Lösungsansatz in meinen Unterlagen gefunden hätte würde ich nicht fragen.
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> Hm, dann komme ich diesem Rätsel ja langsam einen Schritt
> näher.
>
> Dann ergibt sich daraus ergibt sich folgende orthonormierte
> Matrix:
>
> [mm]\begin{pmatrix} \bruch{1}{\wurzel{2}} & \bruch{1}{\wurzel{2}} \\ \bruch{-1}{\wurzel{2}} & \bruch{1}{\wurzel{2}} \end{pmatrix}[/mm]
>
> Aber wie geht es weiter? - Wenn ich die Antwort wüsste,
> resp. einen Lösungsansatz in meinen Unterlagen gefunden
> hätte würde ich nicht fragen.
Hallo,
das ist jetzt Deine Matrix P.
Wenn Du nun [mm] P^t [/mm] $ [mm] \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} [/mm] $P rechnest, solltest Du Deine Diagonalmatrix bekommen.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:08 Mo 02.02.2009 | | Autor: | sdj |
Ich hoffe ich habe das nun richtig verstanden.
[mm] \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} [/mm] * [mm] \begin{pmatrix} \bruch{1}{\wurzel{2}} & \bruch{1}{\wurzel{2}} \\ \bruch{-1}{\wurzel{2}} & \bruch{1}{\wurzel{2}} \end{pmatrix} [/mm] = [mm] \bruch{3*\wurzel{2}}{2} [/mm] + [mm] \bruch{\wurzel{2}}{2} [/mm] + [mm] \bruch{-\wurzel{2}}{2} [/mm] + [mm] \bruch{3*\wurzel{2}}{2} [/mm] + [mm] \bruch{3*\wurzel{2}}{2} [/mm] = [mm] 3*\wurzel{2}
[/mm]
[mm] 3*\wurzel{2} [/mm] * [mm] \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 9 \wurzel{2} & 1 \wurzel{2} \\ 1 \wurzel{2} & 9 \wurzel{2} \end{pmatrix}
[/mm]
...das ist jetzt die orthogonale Matrix die A diagonalisiert?
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Hallo sdj,
> Ich hoffe ich habe das nun richtig verstanden.
>
> [mm]\begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}[/mm] *
> [mm]\begin{pmatrix} \bruch{1}{\wurzel{2}} & \bruch{1}{\wurzel{2}} \\ \bruch{-1}{\wurzel{2}} & \bruch{1}{\wurzel{2}} \end{pmatrix}[/mm]
> = [mm]\bruch{3*\wurzel{2}}{2}[/mm] + [mm]\bruch{\wurzel{2}}{2}[/mm] +
> [mm]\bruch{-\wurzel{2}}{2}[/mm] + [mm]\bruch{3*\wurzel{2}}{2}[/mm] +
> [mm]\bruch{3*\wurzel{2}}{2}[/mm] = [mm]3*\wurzel{2}[/mm]
Erinnere Dich wie man Matrizen miteinander multipliziert.
>
> [mm]3*\wurzel{2}[/mm] * [mm]\begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}[/mm]
> = [mm]\begin{pmatrix} 9 \wurzel{2} & 1 \wurzel{2} \\ 1 \wurzel{2} & 9 \wurzel{2} \end{pmatrix}[/mm]
>
> ...das ist jetzt die orthogonale Matrix die A
> diagonalisiert?
Du mußt [mm]P^{t}\pmat{3 & ^ \\ 1 & 3}P[/mm] berechnen.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:44 Mo 02.02.2009 | | Autor: | sdj |
Hm, ich denke für heute sollte ich schluss machen.
[mm] \begin{pmatrix} \bruch{3*\wurzel{2}}{2} & \bruch{\wurzel{2}}{2} \\ \bruch{-\wurzel{2}}{2} & \bruch{3*\wurzel{2}}{2} \end{pmatrix} [/mm]
[mm] P^{t}\pmat{3 & ^ \\ 1 & 3}P [/mm]
...verstehe nur Bahnhof.
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Hallo sdj,
> Hm, ich denke für heute sollte ich schluss machen.
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> [mm]\begin{pmatrix} \bruch{3*\wurzel{2}}{2} & \bruch{\wurzel{2}}{2} \\ \bruch{-\wurzel{2}}{2} & \bruch{3*\wurzel{2}}{2} \end{pmatrix}[/mm]
>
Wie Matrizen mulpliziert miteinander multipliziert werden:
Matrizenkalkül.
![[]](/images/popup.gif) Matrizenmultiplikation.
>
> [mm]P^{t}\pmat{3 & ^ \\ 1 & 3}P[/mm]
>
> ...verstehe nur Bahnhof.
Das sollte [mm]P^{t}\pmat{3 & \blue{1} \\ 1 & 3}P[/mm] heißen.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:30 Di 03.02.2009 | | Autor: | sdj |
[mm] \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} [/mm] *
[mm] \begin{pmatrix} \bruch{1}{\wurzel{2}} & \bruch{1}{\wurzel{2}} \\ \bruch{-1}{\wurzel{2}} & \bruch{1}{\wurzel{2}} \end{pmatrix} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} -\wurzel{2} & -\wurzel{2} \\ -2\wurzel{2} & -2\wurzel{2} \end{pmatrix} [/mm]
Ist dies nun die orthogonale Matrix die A diagonalisiert? Diese Matrix ist ja nicht in der diagonalform?
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> [mm]\begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}[/mm] *
> [mm]\begin{pmatrix} \bruch{1}{\wurzel{2}} & \bruch{1}{\wurzel{2}} \\ \bruch{-1}{\wurzel{2}} & \bruch{1}{\wurzel{2}} \end{pmatrix}[/mm]
> = [mm]\begin{pmatrix} -\wurzel{2} & -\wurzel{2} \\ -2\wurzel{2} & -2\wurzel{2} \end{pmatrix}[/mm]
>
> Ist dies nun die orthogonale Matrix die A diagonalisiert?
> Diese Matrix ist ja nicht in der diagonalform?
Hallo,
wenn hier alles gut gelaufen ist, dann ist P:= [mm]\begin{pmatrix} \bruch{1}{\wurzel{2}} & \bruch{1}{\wurzel{2}} \\ \bruch{-1}{\wurzel{2}} & \bruch{1}{\wurzel{2}} \end{pmatrix}[/mm] die orthogonale Matrix, für welche
[mm] P^t \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} [/mm] P
eine Diagonalmatrix ergibt. Das ist inzwischen ja auch mehrfach gesagt worden.
Du mußt also [mm] P^t \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} [/mm] P berechnen.
Transponieren kannst Du? Dann schreib doch [mm] P^t \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} [/mm] P endlich mal hin und rechne es aus.
Was soll das eigentlich darstellen, was Du da oben verhackstückt hast?
Irgendwie sieht es mir so aus, als würdest Du keine Matrizen multiplizieren können. [Falls das wirklich der Fall sein sollte, solltest Du erstmal diese Baustelle bearbeiten - an Diagonalisierung &Co. brauchst Du in dem Stadium keinen Gedanken zu verschwenden.]
Gruß v. Angela
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