Diagonalgestalt einer Matrix! < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:52 So 22.10.2006 | | Autor: | xyb |
| Aufgabe | Bringen Sie die Matrix:
A= [mm] \pmat{ 7 & 2 \\ 2 & 4 }
[/mm]
auf Diagonalgestalt. |
Hallo!
1.Schritt
Eigenwerte:
{3; 8}
Eigenvektor zu Eigenwert 3:
(-1; 2)
Eigenvektor zu Eigenwert 8:
(2; 1)
2. Schritt
orthogonale Transformationsmatrix
T = [mm] \pmat{-\bruch{1} \wurzel{5} & \bruch{2} \wurzel{5} \\ \bruch{2} \wurzel{5} & \bruch{1} \wurzel{5}}
[/mm]
So was muß ich jetzt weiter machen:
Damit ich D= [mm] T^{-1}.AT
[/mm]
Bitte um Hilfe was sind die nächsten Schritte?
Danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:36 So 22.10.2006 | | Autor: | ullim |
Hi xyb,
Du hast ja schon alles gemacht. Also nur noch [mm] T^{-1} [/mm] bestimmen und [mm] T^{-1}AT [/mm] berechnen, dann hast Du die Diagonalmatrix.
mfg ullim
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:46 So 22.10.2006 | | Autor: | xyb |
[mm] T^{-1} [/mm] ............die Inverse bestimmen
$ [mm] T^{-1}AT [/mm] $ .........Inverse [mm] \* [/mm] Matrix A [mm] \* [/mm] T
Oder kannst du mir das etwas genauer erklären?
[mm] T^{-1} [/mm] gibt es hier eine RechenRegel, ist ja nicht so einfach mit [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 } [/mm] hier die Inverse zu berechnen?
Und gibt es eine Möglichkeiten der Probe?
Danke, Danke, Danke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:54 So 22.10.2006 | | Autor: | ullim |
Hi xyb,
die Inverse kann man zum Beispiel folgendermaßen bestimmen, für 2x2 Matrizen ist das auch ziemlich leicht.
[mm] A^{-1}=\bruch{1}{Det(A)}\tilde{A}
[/mm]
und [mm] \tilde{A}= [/mm] Adjunkte von A siehe
![[]](/images/popup.gif) http://de.wikipedia.org/wiki/Adjunkte
So, und wenn Du [mm] T^{-1} [/mm] bestimmt hast, musst Du durch ausmultiplizieren von [mm] T^{-1}AT [/mm] berechnen. Ist alles vorher richtig gewesen ergibt sich die Diagonalmatrix mit den Eigenwerten auf der Diagonalen.
mfg ullim
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:57 So 22.10.2006 | | Autor: | xyb |
Hallo!
Nach einem Schnellkurs (Inverse) bin ich zur folgender Erkenntnis gekommen:
$ [mm] T^{-1} [/mm] $ = $ [mm] \pmat{-\bruch{1} \wurzel{5} & \bruch{2} \wurzel{5} \\ \bruch{2} \wurzel{5} & \bruch{1} \wurzel{5}} [/mm] $
AT ................... Matrix A [mm] \* [/mm] T
Und dann, [mm] T^{-1} \* [/mm] AT
Dann bleiben nur Elemente in der Hauptdiagonale über oder?
Danke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:08 So 22.10.2006 | | Autor: | ullim |
Hi xyb,
> Hallo!
>
> Nach einem Schnellkurs (Inverse) bin ich zur folgender
> Erkenntnis gekommen:
>
> [mm]T^{-1}[/mm] = [mm]\pmat{-\bruch{1} \wurzel{5} & \bruch{2} \wurzel{5} \\ \bruch{2} \wurzel{5} & \bruch{1} \wurzel{5}}[/mm]
>
>
Ok
> AT ................... Matrix A [mm]\*[/mm] T
>
Ok
>
> Und dann, [mm]T^{-1} \*[/mm] AT
>
Ok
> Dann bleiben nur Elemente in der Hauptdiagonale über oder?
>
Ok
>
Genauso ist alles richtig
> Danke
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