Diagonalform - Eigenvektoren < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:50 So 29.06.2014 | | Autor: | rsprsp |
| Aufgabe | die Matrix
A := [mm] \pmat{ 2 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 2 \\ 1 & 1 & 3} [/mm] |
Ich soll Eigenwerte / Eigenvektoren und Diagonalenform berechnen und mit Hilfe der Diagonalenform C und [mm] C^{-1}, A^{4} [/mm] berechnen
die char. Polynome : [mm] -x^{3}+7x^{2}-11x+5
[/mm]
Eigenwerte: [mm] x_{1}=5, x_{2}=1
[/mm]
Eigenvektoren:
[mm] E_{5} [/mm] = { [mm] \IR \vektor{1 \\ 1 \\ 1} [/mm] }
bei [mm] E_{1} [/mm] kommen die 3 Gleichungen
x+y+2z = 0
x+y+2z = 0
x+y+2z = 0
Man könnte jetzt 3 Vektoren daraus bauen
[mm] \vektor{0 \\ -2 \\ 1} \vektor{-2 \\ 0 \\ 1} [/mm] und [mm] \vektor{-1 \\ 1 \\ 0}
[/mm]
sind jetzt alle 3 Eigenvektoren von [mm] E_{1} [/mm] ? Bei wolframalpha sind nur 2 gegeben.
denn ist die Diagonalenform von B
D := [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 5}
[/mm]
Ich verstehe noch nicht wie man sie richtig bildet, dazu die Frage: Darf man jetzt die 5 mit den 1-en vertauschen ? also quasi D := [mm] \pmat{ 5 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1} [/mm] ?
Und was ist in dieser Aufgabe [mm] A^{4} [/mm] ?
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Hallo,
> die Matrix
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> A := [mm]\pmat{ 2 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 2 \\ 1 & 1 & 3}[/mm]
> Ich soll
> Eigenwerte / Eigenvektoren und Diagonalenform berechnen und
> mit Hilfe der Diagonalenform C und [mm]C^{-1}, A^{4}[/mm] berechnen
>
> die char. Polynome : [mm]-x^{3}+7x^{2}-11x+5[/mm]
>
> Eigenwerte: [mm]x_{1}=5, x_{2}=1[/mm]
>
> Eigenvektoren:
>
> [mm]E_{5}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
= { [mm]\IR \vektor{1 \\ 1 \\ 1}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
}
>
> bei [mm]E_{1}[/mm] kommen die 3 Gleichungen
>
> x+y+2z = 0
>
> x+y+2z = 0
>
> x+y+2z = 0
Es ist keine sonderlich gute Idee das in dieser Form aufzuschreiben. Schreibs in der form Ax=b mit x,b Vektoren und A Matrix oder gleich als erweiterte Koeffizientenmatrix. Vorteile sind u.a. Weniger Schreibarbeit, erhöhte Übersichtlichkeit.
> Man könnte jetzt 3 Vektoren daraus bauen
>
> [mm]\vektor{0 \\ -2 \\ 1} \vektor{-2 \\ 0 \\ 1}[/mm] und [mm]\vektor{-1 \\ 1 \\ 0}[/mm]
>
> sind jetzt alle 3 Eigenvektoren von [mm]E_{1}[/mm] ?
Ja.
> Bei wolframalpha sind nur 2 gegeben.
ich gehe davon aus, dass wolfram eine Basis des Eigenraums angibt. Deine drei Vektoren sind linear abhängig.
>
> denn ist die Diagonalenform von B
ich würd' nicht "die" schreiben sondern "eine". (s.u.)
> D := [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 5}[/mm]
>
> Ich verstehe noch nicht wie man sie richtig bildet, dazu
> die Frage: Darf man jetzt die 5 mit den 1-en vertauschen ?
Ja.
> also quasi D := [mm]\pmat{ 5 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1}[/mm]
> ?
>
> Und was ist in dieser Aufgabe [mm]A^{4}[/mm] ?
[mm] $A^4:=A\cdot A\cdot [/mm] A [mm] \cdot [/mm] A$ Matrixpotenz.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:41 So 29.06.2014 | | Autor: | rsprsp |
| Aufgabe | Die Frage lautet:
Berechnen Sie [mm] A^{4} [/mm] mit Hilfe von C und [mm] C^{−1}. [/mm] |
Meine Matrize:
C:= [mm] \pmat{ -2 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 }
[/mm]
Könntest du mir mit der Aufgabe helfen?
Ich weiß nicht wie ich anfangen soll.
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Hallo rsprsp,
> Die Frage lautet:
> Berechnen Sie [mm]A^{4}[/mm] mit Hilfe von C und [mm]C^{−1}.[/mm]
> Meine Matrize:
>
> C:= [mm]\pmat{ -2 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 }[/mm]
>
> Könntest du mir mit der Aufgabe helfen?
> Ich weiß nicht wie ich anfangen soll.
Es ist doch
[mm]A=CDC^{-1}[/mm]
Dann ist
[mm]A^{2}=A*A=\left(CDC^{-1}\right)\left(CDC^{-1}\right)=CDC^{-1}CDC^{-1}=CD^{2}C^{-1}[/mm]
Nun, berechne die 4. Matrixpotenz von A.
Gruss
MathePower
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Der Singular von Matrizen ist Matrix.
Eine Matrize https://de.wikipedia.org/wiki/Matrize
hat mit mathematik nichts am Hut.
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